l'ellisse di elasticità tkasvebsale, ecc. 37 



triangolo, la conica corrispondente si spezza in un'altra retta passante per lo stesso 

 vertice e nel lato opposto del triangolo. 



Il triangolo fondamentale ha poi un notevole significato meccanico: una forza 

 qualunque applicata in un vertice del triangolo produce sola rotazione; l'asse di questa 

 si proietta su ir nel lato opposto al punto di applicazione della forza. Ed analogamente : 

 una forza qualunque la quale abbia per proiezione un lato del triangolo UVW, produce 

 una rotazione semplice il cui asse passa per il vertice opposto. 



§ 6. — Si noti che una retta qualunque è sempre secante rispetto alla conica 

 ad essa corrispondente nella trasformazione (X — ■ P t ). 



Infatti le due antipolarità rispetto alle ellissi 1 e 2 determinano su una qua- 

 lunque retta r due involuzioni ellittiche, le quali hanno certamente una coppia comune, 

 la quale è evidentemente costituita dai punti di intersezione di r colla corrispondente 

 conica, perchè tali due punti sono i coniugati o reciproci rispetto ad ambe le anti- 

 polarità, situati sulla retta r. 



Inoltre se X è un punto di r, e P x è il corrispondente sulla conica, indichiamo 

 con P' e P" le proiezioni di P 1 su r rispettivamente da R 1 ed B 2 antipoli di r rispetto 

 alle due ellissi; i punti P e P" si corrispondono in una proiettività che è il pro- 

 dotto delle due involuzioni, subordinate alle due polarità, nelle quali si corrispon- 

 dono P'X e XP" — com'è noto, le intersezioni MN di r colla conica sono i punti 

 uniti di questa proiettività. 



Poiché le due involuzioni sono ellittiche e quindi concordi, la proiettività pro- 

 dotto è pure concorde; perciò le coppie dei punti omologhi non separano la coppia 

 dei punti uniti MN, ossia punti PP" sono o entrambi interni, o entrambi esterni 

 alla conica. Ora se P, intersezione delle due corde della conica -BiP t ed MN=r, è 

 interno, le due coppie di punti della conica R^t ed MN si separano ; l'opposto suc- 

 cede se P' è esterno alla conica. 



Quindi la coppia MN, o separa entrambe le coppie RiPx, R%P\, o non separa nes- 

 suna delle due ; ossia le coppie MN ed Ri R 2 sulla conica non si separano, o, in 

 altri termini, i centri R 1 ed R 2 dei fasci generatori della conica stanno entrambi in 

 uno stesso dei due segmenti (archi) in cui r divide la conica stessa. 



In particolare alla retta all'infinito corrisponde una conica che ha con essa retta 

 a comune due punti (reali), cioè un'iperbole ; questa contiene i centri dei fasci gene- 

 ratori, ossia i centri delle ellissi 1 e 2, i quali, per quanto si è dimostrato or ora, 

 stanno in uno stesso ramo dell'iperbole. Le direzioni degli asintoti sono coniugate 

 rispetto ad entrambe le ellissi. Quest' iperbole passa poi, come sappiamo, per i tre 

 punti singolari UVW. 



§ 7. — Può interessare un criterio per distinguere le rette, le cui coniche corri- 

 spondenti hanno a comune con una data retta due punti, uno o nessuno ; e tale cri- 

 terio ci viene fornito dalla reciprocità della nostra corrispondenza quadratica. 



Una retta t sarà secante, tangente od esterna alla conica corrispondente ad 

 una retta r, se la retta r è secante, tangente od esterna alla conica corrispon- 

 dente a t. 



