38 CARLO LUIGI RICCI 



In particolare la conica corrispondente ad una retta r sarà un'iperbole, una 

 parabola, od un'ellisse secondo che la retta r sarà secante, tangente od esterna alla 

 conica corrispondente alla retta all'infinito, ossia all'iperbole, di cui abbiamo par- 

 lato più sopra. 



Possiamo ora cercare un criterio il quale ci serva a riconoscere se un dato 

 punto è esterno od interno alla conica corrispondente ad una data retta. 



Osserviamo che tra le coniche della rete di base TJVW tutte quelle che passano 

 per un dato punto costituiscono un fascio, il quale ha per corrispondente il fascio 

 di rette il cui centro è il corrispondente del punto dato. 



Consideriamo ora una conica G della rete, ed un punto esterno ad essa ; 

 per passano due tangenti distinte ; nella corrispondenza quadratica e reci- 

 proca (X — Pj), alla conica C corrisponde una retta e, ed alle due tangenti per 

 corrispondono due coniche della rete passanti per il punto 0' coniugato di ; e queste 

 coniche sono tangenti alla retta e. 



Quindi, inversamente, data una retta e, la corrispondente conica C avrà due 

 tangenti passanti per 0, — ossia sarà esterno a G, —, se nel fascio delle coniche 

 passanti per i punti fondamentali TJVW e per 0' coniugato di esistono due coniche 

 tangenti alla e. Il punto sarà interno alla conica C se nel fascio TJVWO' non 

 esistono coniche tangenti alla e. Quindi il punto è esterno od interno alla conica C 

 secondo che l'involuzione determinata sulla retta e dalle coppie di lati opposti del 

 quadrangolo completo TJVWO' è iperbolica od ellittica. 



Questa involuzione, com'è noto (*), quando il quadrangolo è tale che ogni ver- 

 tice sia esterno al triangolo degli altri tre, è iperbolica se i quattro vertici del 

 quadrangolo stanno tutti da una stessa banda rispetto alla retta e, oppure sono due 

 da una banda e due dall'altra; è ellittica se dei quattro vertici uno sta da una 

 banda della retta e e gli altri tre dall'altra. Se un vertice del quadrangolo è interno 

 al triangolo degli altri tre, il criterio esposto deve essere invertito. 



Il punto starà sulla conica C se la retta e passa per il punto 0'. 



§ 8. — Stabiliremo ora pure le proprietà della trasformazióne (X t — p), e in par- 

 ticolar modo delle coniche da questa generate; e queste proprietà noi potremo 

 dedurre, come abbiamo già accennato, con concetti di dualità (geometrica) nel piano 

 da quelle studiate più sopra, ricordando che la corrispondenza che qui studiamo 

 risulta dal prodotto della trasformazione quadratica sopra studiata e della antipo- 

 larità (P t — p) rispetto all'ellisse 1. 



In questa antipolarità il triangolo fondamentale TJVW si trasforma in se stesso, 

 ossia ad ogni vertice corrisponde il lato opposto. Le coniche inviluppo corrispon- 

 denti alle rette del piano sono tutte tangenti ai tre lati del triangolo fondamentale. 



Nell'antipolarità rispetto all'ellisse 1, al fascio R 2 , proiettivo colla punteggiata r, 

 corrisponde una punteggiata r' ; queste due punteggiate generano la conica inviluppo 

 corrispondente alla retta r ; si deve inoltre notare che la retta r è la corrispondente 

 di r nell'omografia Q~ l . 



(*) Cfr. Steinek-Schkòter, Theorie der Kegelschnitte, Leipzig, 1870. S. 66-67. 



