l'ellisse di elasticità trasvebsale, ecc. 39 



Risulta subito che le rette r ed r' appartengono all'inviluppo. 



Avendo dimostrato che una retta r è sempre secante rispetto alla conica luogo 

 ad essa coniugata nella trasformazione (X — Pj), si può senz'altro affermare che per 

 l'antipolo B 1 di r rispetto all'ellisse 1 passano due tangenti distinte della conica 

 inviluppo, omologa di r nella corrispondenza (X — p), ossia P t è esterno a detta 

 conica. 



Inoltre è facile verificare che le due punteggiate r ed r' toccano la conica in 

 due punti i quali stanno in uno stesso dei due segmenti in cui la conica viene sepa- 

 rata dai punti di contatto delle tangenti condotte da P x . 



In particolare l'inviluppo corrispondente alla retta all'infinito del piano è una 

 parabola, giacche deve contenere essa retta come elemento ; ed il centro G 1 dell'el- 

 lisse 1 è esterno a questa parabola. 



Una retta t sarà secante, tangente od esterna rispetto alla conica inviluppo 

 corrispondente ad una retta r, secondo che il punto T, antipolo di t rispetto alla 

 ellisse 1, è esterno alla conica luogo corrispondente ad r nella trasformazione (X — PJ, 

 oppure sta sulla conica od è interno. Quindi serve il criterio esposto alla fine 

 del § precedente. 



In particolare corrispondono parabole a quelle rette che passano per il punto G y ', 

 coniugato del centro G x dell'ellisse 1 nella trasformazione (X — PJ. 



Ad un'altra retta r qualunque corrisponderà in (X — p) una iperbole od un'el- 

 lisse secondo che è iperbolica od ellittica l'involuzione determinata su essa retta 

 dalle coppie di lati opposti del quadrilatero completo JJVWG-l . 



§ 9. — Conviene ricordare che siamo stati condotti allo studio di queste corri- 

 spondenze geometriche, proponendoci di determinare quali tra le forze applicate in 

 un punto X del piano ir producano sola rotazione della sezione B. Si potrebbe pro- 

 porre il problema di determinare quali forze producano sola rotazione tra quelle le 

 cui linee d'azione si proiettano in una data retta _p di tt, — ossia stanno in un piano 

 normale a ir, di traccia p. 



Ragionando come più sopra si troverebbe che tali forze sono quelle che passano 

 per il punto X, antipolo rispetto all'ellisse 2 della retta x 2 congiungente i due anti- 

 poli Pj e P 2 di p rispetto alle due ellissi 1 e 2 ; e cosi di seguito si troverebbero 

 corrispondenze e proprietà duali (geometricamente, nel piano) di quelle più sopra 

 studiate. 



Alla corrispondenza quadratica (X — P t ) si sostituirebbe la corrispondenza (a; — p 2 ) 

 pure quadratrica e reciproca. La (X — p) si cambia nella sua inversa (p — X). 



L'omografia Q in cui sono coniugati gli antipoli di una stessa retta rispetto alle 

 due ellissi 1 e 2, si trasforma dualmente in se stessa, giacche per le proprietà invo- 

 lutoria della polarità e lineare dell'omografia, in Q sono coniugate le antipolari di 

 uno stesso punto rispetto alle ellissi 1 e 2. 



Possiamo in particolare considerare le coppie le quali producono sola rotazione ; 

 esse sono evidentemente quelle i cui piani sono paralleli al diametro coniugato della 

 retta G X G 2 rispetto all'ellisse trasversale ; in particolare le coppie del piano tt e le 

 coppie normali a tt. 



