40 CARLO LUIGI RICCI 



Producono poi sola traslazione le forze giacenti in tt e passanti per G y , e le 

 forze passanti per G. 2 e giacenti nel piano normale a tt di traccia la retta G^^. — 



Risulta quindi subito che non esistono coppie le quali producano sola tras- 

 lazione. 



§ IO. — Nel caso di un solido prismatico le due ellissi hanno a comune il 

 centro, le posizioni degli assi, e, se si trascurano le deformazioni prodotte dal taglio, 

 oppure anche se queste si considerano, purché i due momenti principali della sezione 

 trasversale siano eguali (J x = J y ) e siano pure uguali i due corrispondenti valori 

 di x, le due ellissi hanno pure a comune la lunghezza dell' asse giacente sull' asse 

 geometrico del solido; quindi le due antipolari di uno stesso punto X si tagliano 

 nell'antipolo comune della perpendicolare p all'asse geometrico condotta per X ; 

 perciò la corrispondenza degenera; a tutti i punti X della retta p corrisponde lo 

 stesso punto P u e quindi la stessa retta p. 



In questo caso le due involuzioni subordinate alle due antipolarità sull'asse 

 geometrico del solido coincidono, ossia hanno a comune tutte le coppie di elementi 

 coniugati. Sono autoconiugati nelle due antipolarità tutti gli infiniti triangoli costi- 

 tuiti dall'asse geometrico e dalle normali a questo condotte per due punti coniugati 

 in detta involuzione. 



Il significato meccanico di tale risultato è questo: producono la sola rotazione 

 le forze che sono normali all' asse geometrico del solido , la qual cosa si può 

 dimostrare anche direttamente. Infatti la torsione combinata con flessione pro- 

 duce rotazione pura; e si ha traslazione della sezione B lungo l'asse del solido, solo 

 se questo è sollecitato a sforzo normale, ossia se la forza applicata ha una compo- 

 nente lungo quest'asse ; e perciò la traslazione è nulla se la forza è normale all'asse. 



Nel caso di un solido ad asse rettilineo a sezione variabile, il centro e l'asse 

 longitudinale dell'ellisse trasversale coincidono rispettivamente col centro e coll'asse 

 longitudinale dell'ellisse ordinaria relativa al piano t passante per l'asse geometrico 

 e normale a ir. 



Questi elementi però in generale non coincidono cogli analoghi elementi del- 

 l'ellisse ordinaria relativa al piano ti; infatti i pesi elastici ordinarli parziali relativi 

 al piano tt ed al piano f di un tronco elementare qualunque, in generale sono diversi, 

 e il loro rapporto varia da tronco a tronco ; quindi i baricentri di questi due sistemi 

 di pesi in generale non coincidono ; perciò le due ellissi hanno a comune la posizione 

 di un asse ma non il centro. 



[Si noti che il rapporto di detti pesi è costante per tutto il solido se è costante 



il rapporto-^- dei due momenti d'inerzia principali delle varie sezioni, il che si 



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verifica per esempio se le sezioni variano con legge di omotetia; in tal caso le due 

 ellissi, ordinaria e trasversale, hanno lo stesso centro]. 



Nel caso, pure molto frequente nelle applicazioni pratiche, in cui il solido ammetta 

 un altro piano di simmetria il quale sia normale a tt, ed abbia per traccia la retta y, 

 le due ellissi, ordinaria e trasversale, hanno entrambe un asse giacente sulla retta y. 



In questo caso e nel precedente l'asse comune alle due ellissi ed il punto all'in- 

 finito in direzione normale a questo sono polare ed antipolo rispetto ad entrambe 



