l'ellisse di elasticità trasversale, ecc. 41 



le ellissi; ossia sono vertice e lato opposti del triangolo antipolare comune alle due 

 ellissi: gli altri due vertici si trovano su detta retta e costituiscono la coppia 

 comune alle due involuzioni di punti della retta stessa anticoniugati rispetto alle 

 due ellissi. 



Se le due ellissi hanno a comune il centro e le direzioni, ma non le lunghezze 

 degli assi, — come accade per esempio nel solido prismatico, quando si tenga conto 

 delle deformazioni prodotte dal taglio, e non siano uguali i momenti principali 

 d'inerzia della sezione trasversale, — il triangolo antipolare comune è costituito dai 

 due assi e dalla retta all'infinito. 



§ 11. — Riprendiamo ora a considerare il triangolo antipolare comune alle due 

 ellissi nel caso generale, e teniamo presenti le sue proprietà meccaniche dimostrate 

 alla fine del § 3. 



Chiamiamo E ti l i tre piani normali a tc ed aventi per traccie i lati del triangolo 

 rispettivamente opposti ai vertici TJVW. Poiché alle forze le cui linee d'azione giac- 

 ciono in E corrispondono come assi di rotazione le rette passanti per U, il noto 

 teorema di reciprocità applicato al solito modo ci permette di affermare senz'altro 

 che tra le linee d'azione delle forze — giacenti in E — e le traccie su E degli assi 

 — passanti per U — delle corrispondenti rotazioni intercede un'antipolarità rispetto 

 ad un'ellisse, che si potrà chiamare, per analogia coi casi soliti, l'ellisse ordinaria 

 di elasticità relativa al piano E. 



Analogamente, alle forze le cui linee d'azione passano per U, corrispondono 

 come assi di rotazioni le rette di E; e la corrispondenza tra le traccie su E delle 

 linee d'azione delle forze considerate e gli assi delle relative rotazioni è un'antipo- 

 larità rispetto ad un'altra ellisse, che,' per analogia, si potrà chiamare l'ellisse tras- 

 versale di elasticità relativa al piano E. 



Si vede subito che per la simmetria, ognuna delle due ellissi avrà un asse gia- 

 cente sulla traccia del piano E, cioè sulla retta VW. 



Inoltre il centro (? £ i dell'ellisse ordinaria relativa al piano E, si ottiene proiettando 

 da U il centro G 2 dell'ellisse trasversale relativa al piano ir; infatti il punto 6r £ i deve 

 essere la traccia dell'asse della rotazione prodotta da una qualunque coppia di E ; il 

 quale asse è il diametro dell'ellisse trasversale di tt coniugato alla direzione VW, e 

 quindi deve passare per U che è l'antipolo della retta VW. 



In modo perfettamente analogo si dimostra che il centro Gp dell'ellisse tras- 

 versale relativa a E si ottiene proiettando da U il centro G x dell'ellisse ordinaria 

 relativa al piano tt; infatti il punto Gzì deve essere la traccia della linea d'azione 

 di una forza passante per U. la quale produca sola traslazione; tale forza deve 

 passare per il centro G^ dell'ellisse ordinaria relativa al piano tt. 



Gli assi giacenti sulla VW delle due ellissi di E si ottengono facilmente, poiché 

 i due punti VW devono essere coniugati rispetto ad entrambe le ellissi. 



Gli assi trasversi (normali a tt) delle due ellissi si possono costruire determi- 

 nando due punti coniugati su ciascuna delle normali a tt condotte per 6? £ i e G^ , oppure 

 ricorrendo alle relazioni quantitative tra forze e rotazioni fornite dai teoremi a cui 

 accenniamo più innanzi. 



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