5 l'equilibrio elastico dal punto di vista energetico 483 



le coordinate dei medesimi punti materiali nello stato deformato S, denotando, come 

 di consueto, con u, v, w le componenti dello spostamento del punto generico, com- 

 ponenti che si suppongono funzioni continue delle coordinate. 



Indichiamo poi con a, b, e, f, g, h le sei componenti della deformazione nel- 

 l'intorno del punto (x, y, z): 



* du> i òv 



' ~ dy ~<~ òz 



du_,dw 

 y òz ' òx 



dx dy 



È da queste sei grandezze, e da queste sole, che può farsi dipendere quell'energia 

 elastica elementare che abbiamo testé contrassegnata colle lettere ep, o meglio, colle 

 differenze 9 — <p . Che anzi nel caso particolarissimo delle deformazioni infinitesime, 

 da noi assunto come unico oggetto del nostro studio, si può senz'altro asserire che 

 tale energia elastica elementare è una funzione omogenea di 2" grado ( 7 ) di quelle 

 componenti di deformazione: 



<P («» b, e, f, g, h) 



essenzialmente positiva e che solo si annulla per: 



a=:b = c=f=g = h = 



cioè in corrispondenza dello stato naturale S . 



Tale funzione permette notoriamente di esprimere le componenti di tensione, 

 secondo Kirchhoff, X x , T y , Z„ Y., Z x , X y ( 8 ) come forme lineari delle componenti di 

 deformazione mediante le relazioni: 



(3) 



da 



Y bq> 

 "~ df 



Y Ò( P 



±y — db 



Z x = ^ 



7 d<P 



■-~dl 



v d<P 



X »-~dh 



(') Sono assai importanti a questo riguardo le note ricerche del Prof. Somigliana, * Rendiconti 

 della R. Accademia dei Lincei „, serie V, voi. 3° (1894, 1° sem.), pag. 238 e serie V, voi. 4° (1895, 

 1° sem.), pag. 25; " Annali di Matematica pura ed applicata „ serie III, t. Vii (1902), pag. 129. 



(') Si riterrà qui al solito : 



Zy = Yz A* Zx 1 x — Ay . 



