7 l'equilibrio elastico dal punto di vista energetico 485 



si possano far dipendere le a, b, e, f, g, h giusta le (2), è necessario e sufficiente che 

 siano soddisfatte le sei equazioni: 



(9) 



af ò% &v_ , 



òy òz dz 2 òy 2 



ò 2 a | 1 ò iòf _d£__ii\_n. 

 òyòz * 2 òx \dx òy òz)~ ' 



che risultano dalle (2) eliminandovi le u, v, w per via di derivazione ( 9 ). 



Notiamo però che se, per un punto (x, y, z) si considera un intorno o particella 

 elementare che si riguardi come isolata ed indipendente dal resto, si può sempre 

 intendere che le a, b, e, f, g, h arbitrariamente date in quel punto, rappresentino una 

 deformazione della particella considerata, e le X x , Y y , Z„ Y., Z x , X y dedotte colle (3), 

 rappresentino le componenti di tensione che ne derivano: e reciprocamente date ad 

 arbitrio le X x , Y y , Z„ Y„ Z x , X y si può sempre imaginare che ad esse corrisponda, in 

 virtù delle (4), una ben determinata deformazione della particella, atta a riprodurre, 

 colle tensioni a cui dà luogo, i valori dati. 



Le sei equazioni teste scritte esprimono le condizioni che debbono essere veri- 

 ficate se si vuole che tutte queste deformazioni parziali siano conciliabili insieme, 

 fondendosi a costituire una deformazione continua di tutto il corpo connesso. 



Noi chiameremo pertanto le (9) condizioni di congruenza, denotando col nome di 

 congruente ogni sistema di componenti di deformazione il quale rappresenti una 

 deformazione del corpo effettivamente realizzabile se questo, soggetto a forze tutte 

 esplicitamente date, è, o si rende, del tutto libero nello spazio ( 10 ). 



E noto però che i corpi della natura, intorno al cui comportamento vertono le 

 nostre ricerche, sono di solito soggetti a vincoli atti a limitare più o meno la ca- 

 pacità loro di deformarsi. 



Può darsi pertanto che il sistema degli spostamenti u, v, w che corrisponde ad 

 un dato sistema congruente a, b, e, f, g, h conduca ad una nuova configurazione del 

 corpo incompatibile eoi vincoli ad esso imposti, epperò praticamente irrealizzabile. 



Noi chiameremo adunque jpossibiU una deformazione quando, il sistema delle 



(') Cfr. ad esempio: A. E. H. Lowe, A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity (Cam- 

 bridge, 1906), Ch. I. ovvero: R. Maecolongo , Teoria Matematica dello equilibrio dei corpi elastici 

 (Milano, 1904), Cap. IH, § 6. Queste relazioni erano del resto già state rilevate da Barre de Saint-Venant ; 

 Cfr. Navier, Résumé des lecons etc. (Paris, 1864), App. III. Esse vengono a volte sostituite da altre 

 nelle quali compaiono le componenti di tensione in luogo delle componenti di deformazione. Pei 

 corpi isotropi, detto m il coefficiente di contrazione, e posto T '= X x -\-T y -f- Z z , esse prendono allora 

 la forma: 



1 d J r 



A'r x - 



A 2 7 s = 



m-\-l da? 

 1 d ! T 



m -+- 1 òy òz ' 



indicata dapprima senza dimostrazione dal Bei/trami [" Rendiconti della R. Accademia dei Lincei », 

 serie V, voi. I, pag. 142] e più tardi dimostrata da E. Almansi, * Memorie della R. Accademia delle 

 Scienze di Torino „ , serie II, t. XLVTI (1897), pag. 115. " Rendiconti della R. Accademia dei Lincei ,, 

 serie V, voi. XVI (1° semestre 1907), pag. 23. 



( l0 ) L. Donati, " Memorie della R. Accademia delle Scienze dell' Istituto di Bologna „, serie IV, 

 i. IX (1888), pag. 345. 



