9 l'equilibrio elastico dal punto di vista energetico 487 



dell'equilibrio, dovremmo proporci di indagare in quali condizioni lo stato di tensione 

 elastica definito dal secondo sistema risulti in equilibrio colle forze esterne esplici- 

 tatnente date. 



Riescirebbe però una inutile ripetizione di cose note, qualsiasi deduzione teorica 

 delle equazioni generali dell'equilibrio, che qui perciò ci limitiamo a riportare ( 12 ): 



òx dy ' òz 



mo) ) __ V àYx I dYy | ar- 



da: ^ òy -r dz 



òx ' dy i dz 



— L = X x cos (nx) -+- Xy cos (ny) -j- X, cos (nx) 

 (13) < — M= Y x cos (nx) -f- Y y cos (ny) -f- I^cos (nz) 



— N = Z x cos («#) -j- Z y cos («?/) -(- Z t cos («a) 



indicando, al solito, con X, Y, Z e con L, il/^ iV le componenti unitarie, rispettivamente 

 della forza esterna agente sulla massa dei singoli elementi di volume, riferita all'unità 

 di volume, e della pressione esterna applicata ai singoli elementi della superficie 

 (di normale »), riferita all'unità di superficie. 



S'intende che tali forze e pressioni sono date in ogni punto così dell'interno che 

 della superficie del corpo sempre quando esso sia del tutto libero nello spazio, rite- 

 nendosi come data la forza zero in tutti quei punti sui quali non agisce forza di sorta. 



Ogniqualvolta poi il corpo in esame è soggetto a vincoli, vengono, come già si 

 è detto, a mancare tante equazioni di equilibrio quanti sono i vincoli semplici imposti, 

 cioè quante sono le condizioni che legano le componenti di spostamento ( 13 ). 



( ,2 ) Cfr. ad esempio A. E. H. Lowe, A Treatise on the Mathematìcal Theory of Elasticity (Cam- 

 bridge, 1906) , Ch. Il , ovvero R. Marcolongo , Teoria Matematica dello equilibrio dei corpi elastici 

 (Milano, 1904), Cap. Ili, § 9 e 10. 



( 13 ) La cosa pub esser facilmente precisata nei singoli casi particolari. Così per es.: se il punto 

 che si considera è fisso nello spazio (ciò equivale a supporlo ritenuto da tre superfici generiche 

 fisse, cioè ad imporgli tre vincoli semplici nel senso sopra definito), debbono ritenersi note (e pre- 

 cisamente nulle) le tre componenti di spostamento, mentre per contro, restando incognita così in 

 grandezza come in direzione la forza (reazione) ad esso punto applicata, vengono a scomparire le 

 tre equazioni generali dell'equilibrio che ad esso si riferiscono. 



Che se invece trattasi di un vincolo doppio, se cioè il punto in questione è ritenuto da una 

 linea fissa senza attrito, resta indeterminata la sola componente dello spostamento tangente alla 

 linea e deve considerarsi come nota la analoga componente della forza applicata. Due delle tre 

 equazioni generali dell'equilibrio relative ad un tal punto possono farsi scomparire, in quanto sono 

 incognite la grandezza ed uno dei coseni di direzione della reazione, ma vengono sostituite, agli 

 effetti della determinazione del problema, dalle due relazioni fra le componenti di deformazione, 

 che esprimono l'annullarsi di ogni spostamento normale alla linea data. 



Ed infine ove si consideri un punto ritenuto da una superficie fissa senza attrito (vincolo sem- 

 plice), la sola grandezza della reazione (componente, normale alla superficie, della forza applicata) 

 resta incognita, epperò le tre equazioni generali dell'equilibrio relative a quel punto possono essere 

 ridotte a due sole. In compenso l'annullarsi dello spostamento normale alla superficie stessa ci per- 

 mette di scrivere una relazione fra le tre componenti di deformazione, con che il problema si con- 

 serva sempre completamente determinato. 



