11 l'equilibrio elastico dal punto di vista energetico 489 



e che inoltre questo sistema soddisfi, nei punti soggetti a vincoli, a condizioni 

 del tipo: 



(11') -f bu + ^bv + ^bw = 0. 



òx ' òy ' òz 



Applicando allora alla (7): 



òd> =$(XJ>a + Y»bb + Z z bc + Y,bf+ Z x bg + X v bh) dS 

 un noto processo di trasformazione, si ha: 



' l òx ' òy ~ òz ] ^ 



— [ \X X cos (nx) -f- X y cos (ny) -\- X, cos (ras) j bu + 

 -f- ) Y x cos (wa:) -f- F y cos (ny) -f- Y z cos (nz) j bv -f- 

 + )Z X cos («a;) -|- ^ cos (ny) -f- -2= cos (ras) f bw ] efcx. 



Tenendo presenti le (12) e (18), ed osservando che tutti i termini che si riferi- 

 scono a forze incognite, cioè derivanti da vincoli, sono della forma: 



R x bu -j- Rybv -\- Bfiiv 



epperò si annullano per la coesistenza delle (10) colle (11'), si avrà pertanto la rela- 

 zione semplicissima: 



òct> = J [Xbu -f Ybv + Zbw] dS + J [Lbu + Mbv -f Nbw] da 



il cui secondo membro rappresenta il lavoro eseguito dalle forze esterne esplicita- 

 mente date durante la considerata variazione di deformazione, epperò, preso col segno 

 cambiato, è eguale al differenziale esatto dell'energia potenziale TT di quelle forze. 

 Ora l'equazione: 



(14) ò(ct)-f TT) = b£7=0 



che così si è condotti a scrivere, coincide con quella a cui soddisfano i massimi ed 

 i minimi della funzione U. Se pertanto si mette in relazione questo risultato col- 

 l'ipotesi. implicita nei casi della pratica, che la configurazione di equilibrio cercata 

 sia stabile ( 15 ), si può concludere che: tra tutte le configurazioni possibili, l'unica equi- 

 librata è quella per cui il potenziale termodinamico totale è minimo. 



Questo teorema rientra, come caso particolare, nella nota legge generale di 



( 15 ) Cfr. P. Appell, Traité de Mécanique rationnelle, fc. II (Paris, 1911), pag. 329-332, ovvero anche 

 G. Mokeea, Lezioni di meccanica razionale (.Torino, 1903-04, litograf.), pag. 365-367. 



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