15 l'equilibrio elastico dal punto di vista energetico 493 



§ 6. 



Poche osservazioni bastano a mettere in rilievo la identità di questa proposi- 

 zione con quella che l'opera di Castigliano ( 23 ) ha resa tanto diffusa nel campo delle 

 applicazioni. 



Allorquando infatti noi ci proponiamo di determinare lo stato di equilibrio ela- 

 stico di un corpo considerandolo come l'unica configurazione possibile fra le confi- 

 gurazioni equilibrate noi implicitamente presupponiamo che di configurazioni equili- 

 brate ne esistano infinite. 



Ora non sempre ciò si verifica; può avvenire che di configurazioni equilibrate 

 ve ne sia una sola: in tal caso l'asserire che essa corrisponde ad un minimo della 

 funzione <t> è privo di ogni significato. 



Per compenso il problema dell'equilibrio risulta in tal caso implicitamente risolto, 

 perchè la configurazione cercata deve necessariamente coincidere con quell'unica con- 

 figurazione equilibrata, certamente anche possibile. 



I sistemi cosiffatti, pei quali le sole leggi della statica dei corpi rigidi, indipen- 

 dentemente da ogni considerazione di elasticità, bastano a caratterizzare l'equilibrio, 

 furono detti pertanto staticamente determinati. 



Per essi non ha alcuna ragione di sussistere il teorema del minimo lavoro, il 

 quale dipende necessariamente dalle ipotesi fatte a proposito della natura e della 

 forma dell'energia elastica opperò appartiene alla teoria dell'elasticità nello stretto 

 e preciso senso che fu definito fin da principio. 



II teorema interviene utilmente ogni qualvolta di configurazioni equilibrate ne 

 esistono oo k (k < 1). Si possono allora infatti riferire tali configurazioni, in modo 

 biunivoco, a k parametri indipendenti convenientemente scelti: 



*i, X 



2 > 



esprimendo il lavoro <t> come funzione (certamente quadratica) di essi. 



Quei valori delle X che caratterizzano la configurazione di equilibrio cercata 

 risulteranno allora, a mezzo del teorema in discorso, completamente determinati dal 

 sistema di k equazioni lineari nelle incognite: 



9X, u ' ax 2 ' ' ' ' ' ax* ' 



Praticamente come incognite iperstatiche convien sciegliere precisamente le ten- 

 sioni interne relative a connessioni sovrabbondanti e le reazioni dei vincoli non 

 determinabili in base alle sole leggi della statica dei corpi rigidi. 



C 23 ) A. Castigliaso, * Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino „, t. X (1875), pag. 380; 

 Théorìe de l'éguilibre des systìmes élastiques et ses applications (Turin, 1879). 



Sulla questione di priorità si confronti " Atti della R. Accad. dei Lincei ,, serie II, t. II (1875), 

 pag. lix (transunti). 



Sui difetti delle dimostrazioni di Menabrea e di Castigliano, vedi Cerruti, " Atti della R. Accad. 

 dei Lincei ., serie II, t. II (1875), pag. 570 (Memorie). 



