21 l'equilibrio elastico dal punto di vista energetico 499 



dopo la deformazione e con A", Y, Z le componenti secondo i tre assi della forza 

 data P. 



Le configurazioni possibili del sistema, cioè congruenti (a norma delle ipotesi 

 fatte sul comportamento elastico delle aste) e compatibili coi vincoli (punti fissi dati) 

 sono ovviamente in numero triplamente infinito e possono tutte ottenersi facendo 

 assumere ai tre parametri x,y,z tutti i possibili valori, purché sufficientemente piccoli. 



A ciascuna configurazione possibile del sistema corrisponderà pertanto un lavoro 

 di deformazione che noi scriveremo sotto la forma: 



<t)= !I!i (a '- a; + f ^+ T '-* )2 



denotando con e,, l'allungamento prodotto nell'asta r-esima da una tensione unitaria, 

 e con a,., 8 r , T,- i tre coseni direttori della stessa asta r-esima, da ritenersi costanti 

 in vista della, piccolezza delle x, y, z. 



Alla stessa configurazione generica corrisponderà poi un'energia potenziale della 

 forza esterna, che, mediante opportuna scelta della costante, può scriversi : 



n = — Xx —Yy — Zz. 



La condizione che caratterizza tra le oo 3 configurazioni possibili quella che è 

 anche equilibrata: 



17 = -4- TT = minimum 

 dà luogo pertanto, nel caso attuale, alle tre equazioni: 



ìe =0 4^=0 4^ = 



da; oy os 



ovvero sostituendo: 



r=n 



2^ ^T (P-rX + ? r y + Yr«) = X 



r=l 



r=n 



(a) 2 17 &* + ^y + T ^ = Y 



1—1 



Queste tre equazioni, lineari nelle x, y, s, opperò atte a determinare quei valori di 

 questi tre parametri che caratterizzano la configurazione di equilibrio, possono evi- 

 dentemente essere interpretate come le condizioni da soddisfarsi affinchè le tensioni, 

 che nelle aste del sistema si producono quando il punto dall'origine passa nel 

 punto di coordinate x, y, z, siano in equilibrio colla forza esterna P data. 



Constatato così come il teorema della minima energia conduca alla risoluzione 



