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Anche in Matematica attuai'iale si incontra la (1'); supponiamo infatti che nel 

 prestito ora considerato le somme a L vengano pagate a condizione che il mutuatario 

 sia vivente al tempo n t \ allora indicando con p„ t la probabilità che il mutuatario 

 viva al tempo n t , dovremo risolvere, per determinare il rendimento, l'equazione, 

 analoga alla (1'): 



(1") Ìb<V"=A, 



i 



ove i coefficienti b t = a ( p n< sono positivi. 



Le somme a-, costituiscono una rendita, che dicesi immediata se w x = 1 , antici- 

 pata se m 1 <1, differita se n 1 >l. 



Se qualcuno dei numeri n f è fratto o irrazionale, l'equazione (1') è rispettiva- 

 mente irrazionale o trascendente. 



Il caso più comune è quello in cui «,==«, cioè le somme a t vengono pagate alla 

 fine di ciascuna unità di tempo ; allora la (1') è identica alla (1). Ci limiteremo perciò 

 a trattare la risoluzione della (1), avvertendo però che i metodi che esporremo sono 

 pure validi per risolvere la (1'). 



Nelle opere di Matematica finanziaria e attuariale non è considerata la (1) che 

 nel caso particolare in cui a,- = 1 , e il problema che dà luogo alla (1'') non vi è 

 neanche accennato; il tasso in esse adoperato è esclusivamente il discontinuo, 

 mentre dalle mie ricerche apparisce che si hanno risultati più approssimati introdu- 

 cendo il tasso continuo, o, meglio ancora, il tasso anticipato. 



Nella prima parte della presente Memoria espongo vari metodi di risoluzione 

 (approssimata) della equazione (1), e per ciascuno di essi stabilisco se il valore otte- 

 nuto per la radice è approssimato per difetto o per eccesso; la conoscenza di questo 

 elemento è evidentemente molto importante, perchè quando della radice cercata si 

 conoscono due valori approssimati, l'uno per difetto e l'altro per eccesso, è chiaro 

 che le cifre comuni saranno certamente esatte, e con ciò si ottiene anche il grado 

 d'approssimazione della radice considerata. 



Invece nei trattati di Matematica finanziaria e attuariale, non è mai detto (salvo 

 quando la cosa è del tutto ovvia) di qual natura sia l'approssimazione ottenuta. 



Dopo premesse (n° 1) alcune definizioni, espongo (n' 2-4) alcune formole appros- 

 simate per il calcolo di i>; del tutto nuovo è l'uso qui fatto della disuguaglianza (9). 

 Nel n° 5 determino in modo elementare il termine di correzione, che potrebbe pure 

 ottenersi dal noto metodo di Newton, e istituisco alcuni confronti- con altri termini 

 di correzione. Nel n° 6 ottengo un nuovo valore, ancor più approssimato, del termine 

 di correzione, ricorrendo di nuovo all'importante diseguaglianza (9). 



Dopo ciò applico, in vari modi, l'interpolazione per parti proporzionali (n' 7-10), 

 e stabilisco diversi confronti fra i valori ottenuti con queste varie interpolazioni. 



Per ultimo trovo (n° 11) altre espressioni del termine di correzione ed espongo 

 (n° 12) un metodo di approssimazioni successive, che però è solo valido purché i 

 coefficienti della (1) verifichino certe condizioni. 



Nella seconda parte di questo lavoro tratto, come esempio, qualche tipo parti- 

 colare di prestiti, che frequentemente si incontrano in pratica; dapprima considero 

 (n 1 13-15) i prestiti ad ammortimento progressivo, che corrispondono al caso parti- 



