9 SULLA RISOLUZIONE DI UNA CLASSE DI EQUAZIONI ALGEBRICHE, ECC. 115 



Posto r 2 = i\ — P] , la forinola precedente può scriversi : 



(18) l 0gl , 3 = l 0g( , 1 + _A_i 0g ^l, 



e Vi è approssimato per eccesso. 



Proseguendo nell'applicazione del metodo precedente, si ottengono altri termini 

 di correzione f3 2 , (3 3 , ... e quindi altrettanti valori attuali sempre più approssimati 

 (per eccesso) al valore cercato o, e aventi precisamente per limite v. 



7. — I procedimenti precedenti permettono di ottenere dei valori v approssi- 

 mati per difetto e per eccesso. Considerando due valori v t , v 2 approssimati, il primo 

 per difetto e il secondo per eccesso, si possono dedurne infiniti altri valori di v 

 sempre più approssimati, ricorrendo all'interpolazione per parti proporzionali. 



Un primo modo di applicare l' interpolazione consiste nell'ammettere che gli 

 incrementi del capitale A siano proporzionali agli incrementi della corrispondente varia- 

 bile v. 



Chiamando A lr A 2 i valori del capitale corrispondenti ai valori i\ , v 2 di v, si ha 

 dalla (1): 



I a t v\ = A x , Z a ( v\ = A 2 , 



e la proporzionalità precedente si traduce perciò nell'eguaglianza: 



A — Aj v — v t 



A2 — A, Vi — Vi ' 



poiché però tale proporzionalità non è rigorosamente vera, ma solo approssimata, 

 il 1° membro dell'uguaglianza precedente è un valore approssimato del 2° membro, 

 perciò il valore che se ne trae per v è soltanto approssimato; chiamandolo v' si ha: 



(19) 1} '=v 1 + ^^{v 2 -v i ); 



e se fi è l'errore commesso in tale approssimazione, risulta quindi: 



Vogliamo ora dimostrare che il valore (19) è approssimato per difetto, cioè che 

 B > 0. Basta per questo ricorrere alla nota espressione del resto nelle forinole d'in- 

 terpolazione: supponendo di ricavare A (anziché v) dalla proporzione precedente, si 

 ottiene un valore approssimato per A, e detto B l'errore commesso, si ha: 



A = A 1 + j=^-(A 2 -A 1 ) + R , 



inoltre B è dato dall'espressione (*) : 



(20) R (1 =\{»-v l ){o-v 2 )A" w , 



(*) Cfr. ad es. G. Peaxo, Lezioni di Analisi infinitesimale, voi. I, pag. 106. 



