H6 TOMMASO BOGGIO 10 



ove A" indica la derivata seconda di A (rispetto a e) e w è un valore compreso 

 tra «x , v a . 



Si riconosce subito che : 



p t'a — vi p 



e siccome dalla (1) segue A" > 0, dalla (20) risulta J? o -<0, e in conseguenza: 



R>0, e. d. d. 



È poi facile trovare un confine superiore per l'errore commesso; infatti dalla (20) 

 risulta : 



\Bo\<^(t>,-v^A" u , 



e a fortiori (essendo v 2 > w) : 



\B \<\fa-v ì pA"{và, 

 perciò : 

 (21) B<±±=±A»to. 



Si può trovare direttamente un'altra espressione di B, senza passare pel tramite 

 di B . Basta osservare che, con una forinola analoga alla (20), si ha per l'espres- 

 sione del resto della (19) : 



R 



= \(A-A 1 )(A-A 2 )(-^-) b , 



ove B è un valore compreso tra A lt A 2 ; ora dalla nota forinola per la derivata 

 seconda delle funzioni inverse si ha: 



A" 



dA ì ~ A' 3 ' 



ove A', A" sono le derivate prima e seconda di A rispetto a v\ risulta quindi: 



A" w 



B = -±(A-A 1 )(A-A 2 )j^-, 



tv essendo compreso fra v 1 , v 2 . 



Da questa formola si trae per l'errore un confine superiore, che è generalmente 

 più approssimato di quello dato dalla (21), e si trae pure un confine inferiore per 

 l'errore stesso. Si può però osservare che in quelle questioni (come in quella di cui 

 ci occupiamo) nelle quali si possono ottenere valori approssimati per difetto e per 

 eccesso della quantità che si cerca, prendendo le cifre comuni di tali valori si otten- 

 gono altrettante cifre esatte per il valore di quella quantità, perciò non è più neces- 

 sario calcolare fra quali limiti cade l'errore. 



Poiché il valore (19) di v' è approssimato per difetto, e v 2 per eccesso, facendo 

 una nuova interpolazione partendo dai valori v, v 2 si ottiene un nuovo valore v" di v 



