13 SULLA RISOLUZIONE DI UNA CLASSE DI EQUAZIONI ALGEBRICHE, ECC. 119 



e che hanno quindi per espressione: 



A' = I ia,e-' ! ' , A" = I i^e-*. 

 Se ne trae, posto b t = a.e -1 " : 



AA"— A'* = TbiZMi- (Eib<y = ìtjbibjp—ij) , 



cioè : 



AA" - 4' a = | £,. bMi -jf > ; 



la derivata seconda di logJ. è dunque positiva (*), quindi jB o <<0, onde 



R < , e. d. d. 



È chiaro che se l'approssimazione data dalla (23) non fosse sufficiente, baste- 

 rebbe ripetere ancora il procedimento dell'interpolazione (**), con successive appli- 

 cazioni della (23). 



Si può dimostrare però che il valore (23) è più approssimato del valore (22). 

 Infatti, supposto ad es. A X <A, e quindi «/i>//, basterà far vedere (siccome y', yì 

 sono entrambi approssimati per eccesso) che: 



log^t — log^i -, A — Aj 

 *■ ' log^, — log^, "^ A 2 — Ai ' 



ovvero che: 



1 A A 1 



*5a > a~ 1 . 



ponendo: 



1 -^2 A 2 , 



i = 1 + i' ir = 1 + i- (*>«><>), 



ja disuguaglianza precedente può scriversi: 



ovvero : 



da cui: 



iJ log(l+^)> 2 log(l+^), 



1 +Ì)'>( 1 +t)*- 



(*) Questa proprietà può pure enunciarsi dicendo che la derivata del logaritmo di una funzione 

 razionale intera a coefficienti positivi, è una funzione crescente. 



(**) Si potrebbe anche fare l'interpolazione ammettendo la proporzionalità fra gli incrementi 

 di log^i e quelli di logi', ma allora non sarebbe facile riconoscere se il valor trovato è approssi- 

 mato per difetto o per eccesso. 



