15 SULLA RISOLUZIONE DI UNA CLASSE DI EQUAZIONI ALGEBRICHE, ECC. 121 



Ragionando come nel n° 7 si riconosce subito che: 



Ai At 

 ove: 



( dì ir 



R o = -x- {z — z x ) (z — 2 2 ) 



(fe 8 



w essendo compreso fra z x e z 2 . 

 Si ha ora: 



A 2A' 2 — AA" 



ds? A 3 ' 



ove A', A" sono le derivate prima e seconda di A rispetto a z, calcolate mediante la: 



4 — V "' 



~~ Zj(l+*)' ' 



e che hanno quindi per espressione: 



ai V iti aiì V i{i-\-l)ai 



~ Zj(1 + s) ì + 1 ' ~Za(l + zY+ 2 ' 



Ne segue che B è positivo o negativo, secondochè il segno dell'espressione: 



2A' 2 — AA" 

 è positivo o negativo. 



Essendo v = -r— ; — , si ha : 



\-\- z 



(27) 2 A' 2 — AA" = v 2 Ììj ai ajv i+ '{2ij — i 2 — i) ; 



i 



ora, nel caso generale, non è facile vedere se quest'espressione è positiva o negativa ; 

 vedremo però più tardi (n° 15), in un caso particolare, molto notevole per la pratica, 

 che tale espressione è positiva. 



Si può però dimostrare che il valore (26) è minore del valore (25), il quale, 

 come abbiamo dimostrato, è approssimato per eccesso; infatti le frazioni: 



1 1 



A Ai log A — log^i 



_L__L~' log.4 2 -logA ' 



A % Ai 



sono intanto positive, quindi supposto ad es. A x > A, basta dimostrare che : 



1 1 

 log A — log^i -^ A Ai _ 



log A 2 — log Ai ^ J 1_ ' 



M Ai 

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