122 TOMMASO BOGGIO 16 



ponendo : 



basterà stabilire che: 



l 1 l 



X = a ' 57 = ai ' ^ =a *' 



Ioga — Ioga, ^ a — a, , ^, ■. 



loga 2 — Ioga, 

 ora questa disuguaglianza è certo vera, perchè coincide colla (24), quindi: 



»'Oi"i e. d. d. 



11. — Conoscendo due valori v 1 ,v 2 di v, approssimati il primo per difetto e 

 l'altro per eccesso, si possono dedurre infinite altre coppie di valori più approssi- 

 mati, l'uno per difetto e l'altro per eccesso, nel modo seguente. 



Si ha notoriamente (poiché i\ < v) : 



v x > v\ -\- i {v — Vj) v'r 1 



quindi, a fortiori: 



*>' <C "ì + * ( v — *i) ^Ir 1 ; 



sostituendo nella (1) si deduce: 



A > A 1 -f- (v — »i) TiciiV'r 1 



da cui: 



A < ^ -f (e — »j) I mm4 ' , 





(A = I CliV\) 



v>v x A r 



Ne segue che posto: 

 (28) 



Vi =Vi 



^l — ^i 



^ — ^i 

 t— i 



£ iffiFl 



, I ^1 — Ai 



. tOjVg* 



%', v 2 ' rappresentano valori approssimati di v, e il primo è approssimato per eccesso, 

 e il secondo per difetto; inoltre è chiaro che v 2 ' è certo più approssimato di %. 



L'espressione di i\' coincide col 2° membro della (16). 



Le cifre comuni a «/, v%, sono evidentemente cifre esatte per v, quindi di qui 

 risulta anche il grado d'approssimazione ottenuto colle (28). Volendo poi valori 

 maggiormente approssimati, non c'è che da ripetere successivamente l'applicazione 

 delle (28). 



Si può osservare che il valore v 2 ' è un po' meno approssimato del valore v' 

 dato dalla (19); infatti, dal teorema della media (di Cavalieri) si deduce: 



A 2 — A^ _. . , 



— — = Z IdiW , 



v 2 — l'i 



