21 SULLA RISOLUZIONE DI UNA CLASSE DI EQUAZIONI ALGEBRICHE, ECC. 127 



Se «i è un valore approssimato di z, e p il termine di correzione, posto: 



Z = «, + P 



e sostituendo si ha: 



1-(1 f ^-(l+Y^) "=^+^p; 



ora, se < è una quantità positiva e minore di 1, ed n è quantità positiva, si ha: 



(1 -f 1)~" = l—nt + u, 

 ove u è una quantità positiva, quindi avremo analogamente: 



perciò, sostituendo: 



ovvero: 



da cui: 

 (36) 



perciò : 

 (17") 



1 -(1 +%)-- 



(1 + z,)"+ l 



(l + ^i) n 



P = 



" (l+-Zi) n+l 



(1+2.) 



.4*1 +^p, 



P' 



(1+*)" 



Ui — ^)«i 



u+*i)" +i 



u +*,)"+' 



è un valore approssimato del termine di correzione, quindi un valore più approssi- 

 mato del tasso è z 2 " = z 1 -{-$'. 



È facile mostrare che se z 1 è approssimato per eccesso, anche z 2 " risulta appros- 

 simato per eccesso; inoltre se z x è approssimato per difetto, ma è sufficientemente 

 approssimato [ad es. se si prende per z x il valore dato dalla (12')] anche in tal caso 

 il valore z 2 " è approssimato per eccesso (*). 



Infatti, supposto dapprima z x approssimato per eccesso, si ha A^>A 1} perciò, 

 siccome il denominatore della (17') è evidentemente positivo [come quello della (15')], 

 lo è, a fortiori, il denominatore della (17"); l'ultimo termine della (36) è dunque 

 negativo, onde P' > P, e z 2 " > z . 



Supponiamo ora z x approssimato per difetto ; per fissar le idèe assumiamo come 

 valore di z x quello che si deduce dalla (12'), per il quale si ha quindi: 



n+I 

 (l+*l) 8 = 



(*) La forinola (17"), sotto forma diversa, trovasi nelle opere : Thoman, Théorie des intérèts com- 

 poste et des annuités, ete., pag. 82 (Trad. frane., Paris, a. 1878). — Marie, Tratte mathématìque et 

 pratique des opérations financières, pag. 351 (Paris, a. 1890). Però in tali trattati essa è dedotta in 

 modo diverso e meno semplice, e inoltre non vi è ricercato se l'approssimazione ottenuta è per 

 difetto o per eccesso. 



