S t T L L E 



CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE 



E PARTICOLARMENTE SULLE 



CURVE ELLITTICHE DOPPIE 



MEMORIA 



DI 



ANNIBALE COMESSATTI 



A PADOVA 



Approvata nell'adunanza del 21 Marzo 1909. 



INTRODUZIONE 



Lo studio delle curve algebriche contenenti involuzioni irrazionali di secondo 

 ordine e di genere n, cioè di quelle che, più brevemente, si denominano curve doppie 

 di genere n, procede, salendo per valori del genere, da quello delle curve iperellittiche 

 le quali possono dirsi curve razionali doppie; in quest'ordine si presenta dapprima 

 il caso ellittico (n — 1), poi il caso più generale. Non molti sono i risultati che si 

 hanno in questo campo di ricerche (*), alle quali tuttavia, non è a dirsi che manchi 

 un qualche interesse, né una certa ampiezza di interpretazioni (**). Nella presente 

 Memoria ho studiato alcune questioni relative appunto alle suddette curve, con spe- 

 ciale riguardo al caso Tr=l, il quale presenta per varie ragioni maggiore faci- 

 lità, e del • quale il caso tu > 1 è quasi in ogni sua parte una ovvia e naturale 

 estensione. 



Il problema, intorno alla cui soluzione si aggruppano la gran parte dei risultati 

 di questo lavoro, si è la ricerca delle condizioni d'identità birazionale di due curve 

 doppie rappresentate sopra la medesima curva f{xy) = 0, di genere rr collo stesso 

 gruppo di diramazione. Tale problema non esiste per le curve iperellittiche perchè 

 due curve di questo tipo le quali possiedano, sulla retta che rappresenta la g\, lo 

 stesso gruppo di diramazione, sono sempre birazionalmente identiche. E la differenza 



( 5 ) Se si eccettuano alcune proprietà generali attinenti alle involuzioni irrazionali sopra una 

 curva algebrica e alcuni casi particolari. Ad es. le involuzioni irrazionali sopra una curva iperellit- 

 tica vennero studiate dal Torelli in una sua Nota che si troverà citata più avanti al Cap. 4°, P. e 1*. 



(**) Ad esempio quelle offerte dai sistemi lineari completi di integrali abeliani di l a specie 

 riducibili, contenenti ir integrali indipendenti ; o quelle offerte àzXY Analysis Situs mediante le super- 

 ficie Riemanniane formate da due fogli di genere ir. 



Serie II. Tom. LX. o 1 



