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consiste in questo ; che quantunque, in perfetta analogia col caso iperellittico, le equa- 

 zioni della curva doppia si possano presentare sotto la forma 



f{xy) = 0, *» = R(xy), 



B(xy) essendo un polinomio, e il gruppo di effettiva diramazione G sia composto in 

 modo analogo, dei punti di intersezione dispari di /"= con iì! = 0, nel nostro caso 

 non si riesce più con una opportuna trasformazione birazionale a far sparire i punti 

 f=R = che assorbono un numero pari d'intersezioni. Anzi se 2T è il gruppo 

 residuo di G (i cui punti si contino una volta), rispetto all'intersezione completa delle 

 suddette curve, il gruppo l~, che io chiamo di diramazione apparente, ha un ufficio 

 essenziale nella ricerca delle condizioni d'identità birazionale di due curve C, C, 

 aventi lo stesso G; infatti queste condizioni risultano espresse dalla relazione d'equi- 

 valenza tra i gruppi di diramazione apparente, ridotti opportunamente ad avere eguale 

 numero di punti. Siccome esistono in generale 2 ÌM gruppi V non equivalenti, così le 

 curve doppie C che hanno lo stesso G si dividono in 2 Ì7T famiglie, coll'eccezione che 

 se manca G una di esse è composta di curve riducibili (*). 



Proseguendo in questo ordine di ricerche, si presentava a questo punto il pro- 

 blema di caratterizzare invariantivamente (di fronte alle trasformazioni birazionali) le 

 cercate condizioni d'equivalenza, sulla curva f di genere ir, liberandosi dalla rappre- 

 sentazione projettiva mediante equazioni ; pertanto bisognava sostituire al concetto di 

 gruppo di diramazione apparente, qualche altro concetto che potesse rimanere legato 

 invariantivamente ad f. A ciò mi servì la serie lineare g^zf -1 che rappresenta sulla 

 curva f, la gfr^l -1 di C formata dai gruppi canonici composti mediante coppie della y»; 

 aggregando a questa serie (detta fondamentale) il gruppo di diramazione G si ottiene 

 ciò che io chiamai una rappresentazione di C su f. Orbene questa rappresentazione (o 

 una sua trasformata su f), caratterizza perfettamente la famiglia di curve cui appar- 

 tiene C; in quanto risulta condizione necessaria e sufficiente per l'equivalenza di due 

 curve doppie (dello stesso genere p), rappresentate sulla f l'esistenza di una tras- 

 formazione di f la quale muti l'uno nell'altro i due gruppi di diramazione e le due 

 serie fondamentali, che si riferiscono alle date curve. 



Tali condizioni più espressive, hanno maggiore portata delle precedenti, e offrono 

 materiale alla risoluzione di notevoli problemi, quali la determinazione del numero 

 delle famiglie distinte in casi eccezionali ; ed una interessante relazione che connette 

 i risultati projettivi con quelli invariantivi, permette di risolvere altre questioni 

 come quella del numero minimo di punti che possono spettare al gruppo di dirama- 

 zione apparente di una data curva G. 



Un altro modo di studiare la questione è quello offerto dall' " Analysis Situs „ 

 mediante le superficie riemanniane doppie, di cui ho dato brevemente una costru- 



(*) Il fatto che quando il genere di C è 2tr — 1, cioè quando non esiste G il numero delle famiglie 

 è 2- 71 — 1 è noto. Cfr. per ir = l, Castelnuovo, Geometria sulle curve ellittiche [" Atti della R. Acc. 

 di Torino „, T. XXIV (1888), pp. 4-22], pag. 13; Enriques, Sulle superficie algebriche di genere geo- 

 metrico zero [" Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo „, T. XX (1905)], § 6; e per ir>l, Hukwitz, 

 Le superficie di Riemann con dati punti di diramazione [(dai " Math. Annalen „, Bd. 39 (1891)), 

 " Giornale di Mat. „, T. XXXI (1893) e XLI (1903)J, al § 5 della Parte V contenuta nel T. XLI. 



