316 ANNIBALE COMESSATTI 



PARTE PRIMA 



CAPITOLO PRIMO 



Le condizioni d'equivalenza di due curve ellittiche doppie, 

 sotto forma projettiva. 



§ 1. Generalità. 



1. — Dicasi C una curva algebrica contenente una f\ ellittica, i cui gruppi 

 rispondano biunivocamente ai punti di una curva ellittica f. Prendendo come modello 

 di f, la curva piana f{xy) = 0, la C si potrà sempre ritenere, a meno di trasforma- 

 zioni birazionali, rappresentata da equazioni del tipo 



(1) f(xy) = 0,z* = R(xy), 



R{x,y) essendo un conveniente polinomio. Se in particolare si assume come modello 

 di f la cubica ellittica 



(2) fla*) = ** — ^H-^ + fl^O, 



cioè la 



a =!>(«), y—p'{u), 



(p essendo la nota funzione di Weieesteass, coi periodi w, u^, e cogl'invarianti </2><7s) 

 allora le (1) assumono la forma notevole 



(3) x =p{u), y — p\u), z = )/R(p(u), p'(u)). 



I tipi birazionalmente distinti di curve C, si ottengono evidentemente tutti, al 



variare del polinomio R e del modulo della curva f cioè del rapporto ^-, od altrimenti 



del rapporto — ); noi ci proponiamo in questo capitolo di caratterizzare ciascuno di 

 essi, connettendolo per ora a particolari relazioni proiettive tra le curve f=0, i2:=0. 



2. — È noto che se p è il genere della curva C contenente la fi ellittica, questa 

 ha 2p — 2 punti doppi i quali formano un gruppo canonico, come consegue imme- 

 diatamente dall'interpretazione geometrica della forinola di Zeuthen (*); i loro cor- 



(*) Cfr. Severi, Sulle relazioni che legano i caratteri, ecc. [" Rendic. del R. Ist. Lombardo 

 T. XXXVI (1903)]. 



