5 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 317 



rispondenti su f, formano il gruppo di diramazione G della curva C. Questo gruppo 

 è costituito da quei punti intorno a cui le due determinazioni di \R{xy) si scambiano 

 tra di loro, sicché appena esiste un effettivo punto di diramazione, i due rami accen- 

 nati risultano permutabili, cioè il gruppo di monodromia della z quale funzione del 

 punto (.£,//) risulta transitivo. Ciò porta di conseguenza V ir riducibilità della C, sicché 

 tale curva potrà esser riducibile soltanto quando G non esiste, e quindi p=l. 



Proponiamoci di vedere come si possa determinare questo gruppo sulla curva 

 f=0 (che d'ora in poi supporremo sempre essere la cubica (2)), supponendo la C 

 rappresentata dalle equazioni (1). Sembrerebbe alla prima che bastasse ricercare quali 

 sono i valori di .t", y che danno per z valori coincidenti, onde G risulterebbe segato 

 su f = dalla curva R = 0. Ma ciò non è sempre vero perchè ad un punto /"= R — 

 possono corrispondere due punti di C che siano venuti a coincidere muovendosi sopra 

 rami distinti, e allora non si ha diramazione; di più anche i punti impropri di f 

 possono ad essa portare contributo. 



Bisognerà quindi esaminare la questione un po' più da vicino. 



3. — Occupiamoci anzitutto dei punti f=B = 0, il cui gruppo supporremo 

 segnato sulla superficie di Riemann F relativa ad f=0. Ivi un punto P(a,b) che 

 conti i volte tra le intersezioni di f=-0 con R = 0, è uno zero £-plo della funzione 

 uniforme R(xy); onde, come si riconosce subito mediante lo sviluppo di R in serie 

 di potenze di x — a nell'intorno di quel punto, i due rami di ]/ R (xy) subiscono per- 

 mutazione per un circuito descritto intorno a P, soltanto se i è dispari. Ne conclu- 

 diamo che sono di diramazione soltanto quei punti f = R = che assorbono un numero 

 dispari d'intersezioni delle due curve. 



Per esaminare il comportamento dei punti impropri, basterà eseguire su C, a 

 seconda che l'ordine del polinomio R sia pari o dispari, una delle seguenti trasfor- 

 mazioni birazionali (involutorie) 



_ x'_: _ j_ _^_ _^ _J L g' 



La curva C considerata si cambierà allora, rispettivamente, nelle due curve 



(4) q>(«y) = 0, ** = R 1 {x'y') ; <p(x'y') = 0, *" = y'R 1 {x'y'), 



essendo in ogni caso, cp = 0, .^ = le trasformate delle f=0, R = nell'omo- 

 grafia involutoria 



*' - J_ 



X ~ y" y ~ y' ' 



che muta la retta impropria del piano x, y, nella retta y = del piano x', y ' . Si 

 vede allora dalle formole (4) che se l'ordine di R è dispari, il gruppo di dirama- 

 zione si otterrà completando il gruppo delle intersezioni dispari di f=0cowR = 0, 

 coli 'aggiunta delle intersezioni pure dispari di f = colla retta impropria. 



