318 ANNIBALE COMESSATTI 6 



4. — In base ai risultati del n° precedente possiamo escludere i punti di dira- 

 mazione impropri con opportuna trasformazione ; ci potremo quindi riferire ad equa- 

 zioni del tipo (1) intendendo che B(xy) sia un polinomio d'ordine 'pari, ed f{xy) = 

 una conveniente cubica ellittica. 



Se 2m è l'ordine di B, e 2n il numero delle intersezioni dispari di f = con 

 B = 0, si avrà_p = »+l, e il gruppo G delle suddette intersezioni (ciascun suo 

 punto essendo contato una volta) si dirà gruppo di diramazione effettiva. Fuori di G, 

 della completa intersezione di /"= con 5 = rimarrà un gruppo di punti, ciascuno 

 dei quali andrà contato un numero pari di volte; se questo s'indica con 21", V sarà 

 detto gruppo di diramazione apparente. Naturalmente in V ciascun punto verrà con- 

 tato un numero pari di volte ; e si noti che, nell'ipotesi più generale, il gruppo V, 

 potrà contenere qualche punto di G. 



Se ora son date due curve C. C di equazioni 



f(xy) = 0, e' = B(xy) ; f(xy) == 0, *» = S (xy), 



collo stesso gruppo di diramazione effettiva G, ed è 2m l'ordine di B, 2« l'ordine di S, 

 con m<Cn, e K(xy) è un polinomio arbitrario d'ordine n — m, eseguendo su C la 

 trasformazione birazionale 



x' = x, y' = y, z = z K, 

 si hanno le equazioni 



f{x'y) = 0, *'■ = B(x'y') IP {xy') ; f(xy) = 0, *» = S(xy), 



ove i polinomi B E? ed S hanno lo stesso ordine. Le C, C possono quindi rappre- 

 sentarsi con gruppi di diramazione apparente dello stesso numero di punti. 



§ 2. Ricerca delle condizioni d'equivalenza: 

 loro espressione mediante il gruppo di diramazione apparente. 



5. — Siano C, C due curve possedenti ciascuna una sola fi ellittica birazional- 

 mente identica alla curva ellittica f: possiamo senz'altro ritenere per lo scopo che 

 ci proponiamo, che i due gruppi di diramazione effettiva G, G' ad esse relativi coin- 

 cidano, cioè che le C, C si possano rappresentare colle equazioni 



( rt*rt = j f&qtf=0 

 ( z i = B{xy), \ z* = S{xy), 



in modo che le curve 5 = 0, S = abbiano comuni le intersezioni dispari colla 

 curva f, in numero di 2p — 2 (non importa se colla stessa molteplicità) e di più 

 abbiano il medesimo ordine (pari). 



Sia ora T una corrispondenza biunivoca tra C, C ; essa subordina su f una tras- 

 formazione t, in cui sono omologhi due punti che rappresentano due gruppi omologhi 

 delle f\, e che muta in se il gruppo G; nell'ipotesi più generale che G non sia tras- 

 formato in se stesso da nessuna delle corrispondenze biunivoche di f, la t sarà adunque 



