7 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 319 



l'identità. Ciò basterà a farci stabilire che se f~, P sono i gruppi di diramazione 

 apparente di C, C, la condizione d'identità birazionale di queste curve è espressa dalla 

 relazione d'equivalenza 



F=r. 



6. — La condizione è necessaria. Infatti, poiché due punti di C, C corrispondentisi 

 in T, sono sulla medesima generatrice del cilindro f(xy)=Q, le loro coordinate saranno, 

 p. es., x, y, z; E, n, l. Poiché nella T si corrispondono anche i punti x,y,z'== — z; 



E, n, V — — l, si avrà -=- — -jt, cioè il rapporto -£- sarà una funzione uniforme del 



punto x, y di f. Ma questo rapporto è eguale ad una delle due determinazioni di 1/— ' 

 per cui si avrà in ogni punto di f 



4=-t£, cioè RB* = SA*, 



a Jo" 



essendo A, B polinomi in xy. Ciò viene a dire che le curve BB 2 = d, SA 2 =0, devono 

 avere la stessa intersezione completa con f, assorbendo negl'incontri la medesima 

 molteplicità d'intersezione. Si dicano a, p i gruppi segati su /"dalle curve ^4=0, B=0 

 e s'indichi col segno = la relazione di coincidenza fra due gruppi, col segno = la 

 relazione d'equivalenza. Per quanto si è detto sopra avremo 



+ 2r + 2P = <? + 21"' + 2<x , 

 da cui si trae 



2("-f 2p = 2n + 2a, ossia r + p = r' + a, 



e quindi " a fortiori „ 



r + p = V + a. 



Ora le curve A = 0, 5 = devono avere lo stesso ordine, perchè così accade 

 delle ì?=t0, S=0: ma allora è a = p, e quindi 



r = r, e d. d. 



La condizione è sufficiente. Se infatti è r=P, allora esisteranno due curve A=0, 

 B = 0, che, fuori di un gruppo fisso A, segheranno rispettivamente f nei gruppi l~, P; 

 perciò i gruppi segati su f dalle curve BB 2 = 0, SA 2 = 0, saranno rispettivamente 



(? + 2r + 2P-j-A, £ + 2P + 2r-r-A, 



cioè coincideranno. Sarà quindi (a meno di un fattore costante che includeremo in A 2 ) 

 in ogni punto di f 



BB 2 = SA 2 , cioè ^- = S. 

 Si conclude allora facilmente che ognuna delle due trasformazioni 

 3 = £ > y=n, z — -b 1 > x = l, y = r), s=——Z., 



