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muta la curva C nella C e quindi che la condizione enunciata è anche sufficiente 

 come si voleva provare. 



7. — La condizione ora ottenuta ha evidentemente carattere proiettivo, in quanto 

 tale carattere compete al gruppo di diramazione apparente. Essa si estende facil- 

 mente al caso in cui le due curve P = 0, S=0 non abbiano lo stesso ordine; basta 

 eseguire una trasformazione analoga a quella del n° 4. Se allora A è il gruppo segato 

 su /"da K=0, si avrà P = T + A, cioè 1 1" — 1~| sarà un multiplo intero della g\ 

 segata su f dalle rette del piano; la reciproca è evidente. 



§ 3. Numero delle famiglie distinte, 



di curve C aventi lo stesso gruppo di diramazione G. 



Modelli di ciascuna famiglia. 



8. — Cerchiamo di trasformare la condizione T = P. Sia w l'integrale ellittico 

 (normale) di f coi periodi 1, t, e sieno U, V le somme dei valori di esso, relative 

 ai gruppi T, P; poiché le curve P = 0, S = hanno eguale ordine è ' 



<? + 2r = G + 2P, 

 e perciò 



2U=2U', (modd. 1, t), 

 da cui segue 



U=U' (modd.|, -J-), 



e quindi si possono presentare i quattro seguenti casi 



U'=U,ir=U+± U'=U+^ Ì U'=U+-^, (modd.l,T). 



Si hanno adunque quattro tipi di gruppi T non equivalenti, cioè quattro famiglie 

 distinte (*). Se si indicano con P lt P 2 , ..., P 2p -s i punti di G, con «2=0) «3=0, ..., 

 a 2p _s, = le equazioni di 2p — 1 tangenti mandate alla cubica f=0 rispettivamente 

 dai punti P 2 , ..., P 2p -2, e con a'/' = 0, <4 2) = 0, af = 0, aì 4) = le equazioni delle 

 quattro tangenti uscenti da Pj , allora le equazioni 



(5) f( X y) = J z* = afa s a 3 ...a 2p - 2 , {i—1, 2, 3, 4), 



ci danno quattro curve appartenenti ciascuna ad uno dei tipi sopra trovati, come 

 emerge subito dall'ispezione dei valori di u nei punti dei gruppi T ad esse relativi. 

 Se 2p — 2 = 0, (p=l), allora, indicando con «1=0, a 2 =0, a s =0, a 4 =0, le equa- 



(*) Si osservi che per ognuno dei gruppi T ora trovati, esiste una curva f=0 che sega fin G-{-2f: 

 difatti su f le curve d'ordine arbitrario segano serie complete. 



