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zioni delle tangenti mandate ad f da un suo punto generico, si possono prendere 

 come modelli delle quattro famiglie le curve 



(6) A*>/) = 0, z' = a 1 a i , (» = 1, 2, 3, 4). 



Se di esse si eccettui quella che si ottiene per i = 1, la quale si spezza nelle 

 due curve ellittiche 



f(.ril) = 0, z — a x ; f{xij) = 0, z = — a t , 



ci riduciamo a tre famiglie di curve irriducibili (*), che hanno per rappresentanti 

 le curve 



f(xy) = 0, z* = «,«,, (»=-2, 3, 4). 



9. — Facciamo qualche osservazione sui risultati di questo capitolo. Al n° 5 

 abbiamo introdotta la restrizione che una corrispondenza tra le due Ys di C, C sub- 

 ordini su f l'identità ; è chiaro che, se essa vien tolta, il numero delle famiglie può 

 ridursi ad essere minore di quello trovato, e si presenta spontaneo il problema di 

 ricercare quale influenza abbiano su esso le trasformazioni di f che mutano in sé il 

 gruppo G. A questa ricerca si prestano però poco felicemente i metodi di questo 

 capitolo; perciò la riprenderemo più avanti. 



Faremo invece una breve osservazione circa il numero dei moduli. Poiché le 

 curve C distinte con lo stesso gruppo di diramazione sono in numero finito, il numero 

 dei moduli delle curve ellittiche doppie, eguaglia il numero dei gruppi G di 2/> — 2 

 punti che son distinti per trasformazioni di f in sé, aggiuntovi il numero dei mo- 

 duli dell'ente ellittico f, sicché, come si vede subito, questo numero risulta eguale 

 a 2p — 2 (**). 



CAPITOLO SECONDO 



Le condizioni d'equivalenza di due curve ellittiche doppie 

 sotto forma invariantiva ; loro relazione colle condizioni proj etti ve. 



§ 4. Sappresenta&ione della serie canonica di C sopra f. 



IO. Siano al solito C, C due curve algebriche, del medesimo genere p, conte- 

 nenti ciascuna una sola rè ellittica; è noto che se esiste tra C, C una corrispondenza 

 biunivoca, essa deve trasformare l'ima nell'altra le due fi mutando l'uno nell'altro 



(*) Cfr. Castelnuovo, Geometria sulle curve ellittiche [" Atti della R. Aoc. di Torino „, T. XXIV, 

 (1888), pp. 4-22], pag. 13; Enriques, Sulle superficie algebriche di genere geometrico zero [" Rendic. del 

 Circolo Mat. di Palermo „ T. XX (1905)], § 6. 



(**) Questo numero coincide con quello trovato da Segse, Introduzione alla geometria sopra un 

 ente algebrico semplicemente infinito [" Annali di Mat. „, s. II, T. XXII (1894Ì, pp. 41-142], pag. 135. 

 Ivi però l'A. si propone di studiare il caso in cui gli zeri dei polinomi -K, S coincidono colla stessa 

 molteplicità: ne risulta quindi una sola famiglia di curve per ogni gruppo G. Cfr. loco cit., pp. 60-61. 



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