3'22 ANNIBALE COMESSATTI 10 



i gruppi dei punti doppi, cioè che le due Y2 si possono rappresentare su una stessa 

 curva ellittica f collo stesso gruppo di diramazione G. 



Ciò però non basta a portare di conseguenza l' identità birazionale di C, G ; e 

 l'ulteriore condizione che a tale scopo si richiede fu già precisata in modo projettivo 

 al Cap. precedente. Daremo ora ad essa un'altra forma assai più comprensiva, intro- 

 ducendo nel ragionamento le serie X, E' formate dai gruppi canonici di C, C com- 

 posti colle rispettive y*; serie che, come si vedrà più tardi al Cap. IV hanno la 

 dimensione p — 2 (*). Esse giuocano una parte essenziale nei risultati di questo 

 capitolo, in quanto che la condizione addizionale che ci fa bisogno, si esprime assai 

 semplicemente per mezzo di esse; più precisamente essa si stabilisce imponendo ad 

 una trasformazione esistente tra le due Y2, oltreché di mutare l'uno nell'altro i 

 gruppi dei punti doppi, anche di scambiare tra loro le due serie anzidette. 



11. — Proponiamoci anzitutto di vedere come si possa rappresentare su/" la 

 serie canonica di C. Entro questa serie si ha una involuzione di coppie di gruppi, 

 subordinatavi dalla y», in cui sono elementi uniti il gruppo dei punti doppi della y« 

 e i gruppi della g p ,~l 2 sopra accennata; se si dicono X, X due gruppi coniugati in 

 questa involuzione, essi son rappresentati "su/" da uno stesso gruppo che, al variare 

 di X, descrive una serie algebrica y?^2 d'indice 2 ?_2 . Questa serie contiene evidente- 

 mente il gruppo di diramazione Gei gruppi di quella serie S, che rappresenta la 

 suddetta g%l*, contati ciascuno due volte (**). 



Consideriamo ora un generico gruppo canonico H di C e sia D il gruppo dei 

 punti doppi della -fi; essi individuano entro la serie canonica una g\„_ t la quale è 

 mutata in sé dalla fi perchè così accade del gruppo H e di quel gruppo che essa 

 ha comune colla g^l 2 di cui sopra ; adunque questa </J p _, ha per corrispondente su f 

 un'analoga g\ p _ 2 contenuta in Yl£Ì, la quale si può ottenere congiungendo il gruppo G 

 con un gruppo della serie S contato due volte. Risulta adunque evidente che la 

 serie Y^Ì si può costruire congiungendo G con ogni gruppo di S contato due volte. 



§ 5. Riferimento projettivo delle serie canoniche di C, C '. 



12. — Siano ora C e G due curve ellittiche doppie e supponiamo che tra le 

 due y\ esista una corrispondenza la quale muti l'uno nell'altro i gruppi D, D' dei 

 punti doppi, e trasformi la g p ~2 2 (che diremo E) dell'una, nell'analoga gl'I, (E') del- 

 l'altra. Dico che ciò basta a stabilire l'equivalenza di C, G. 



Incominciamo infatti dall'osservare che se si rappresentano collo stesso punto di f 

 gruppi corrispondenti dalle due Y2 i due gruppi G e le due serie S coincidono; onde 

 in virtù della costruzione data al n° precedente coincidono le due serie algebriche y, y' 

 che rappresentano su f le serie canoniche di C, G . 



(*) È questo un caso particolare di una proposizione più generale, che si può dimostrare a sé, 

 con considerazioni immediate. 

 (**) La .5 è adunque una jEzf- 



