1 L SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 323 



Ciò posto si dicano H, H x due gruppi canonici di C e K, K x due analoghi 

 gruppi di C, rappresentati su f dal medesimo gruppo M di y, e si stabilisca tra le 

 due serie canoniche la projettività determinata dalle seguenti corrispondenze 



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proveremo la verità dell'asserto fatto in principio di questo numero, mostrando che, 

 in tale modo, ad ogni gruppo canonico per un punto P di C, risponde un gruppo 

 canonico per un punto Q di C, P e Q stando in gruppi omologhi delle due yl. 



Infatti sia <t> la f/ 2 l p _o individuata da H e D, L il gruppo che essa ha in comune 

 con I; se s'indica con R il gruppo di S corrispondente ad L, alla O risponde su f 

 una cj)„_-2 che contiene i gruppi M, G, 2B. Mediante la corrispondenza stabilita dalle (1) 

 alla O risponde su C" una serie <t>' che contiene i gruppi K' , D', L' (essendo L' 

 l'omologo di L) e che viene rappresentata su f dalla medesima gip-*); anzi la corri- 

 spondenza tra e <&' subordina entro questa gl p - 2 l'identità, poiché lascia fissi i tre 

 gruppi M, G, 2R. 



Sia ora P un punto generico di C, P t il suo omologo nella f 2 \ Q, <?i la coppia 

 della Tg' di C che corrisponde a P, P x . I gruppi canonici per P formano una gl~ì 2 che 

 contiene una certa gl'I» T, formata da gruppi di Z (passanti per P e P x ), e un gruppo iV 

 di <1> (**). Alla T risponde su C" una serie T' i cui gruppi passano per Q e X e al 

 gruppo N un certo gruppo N' il quale deve passare per Q o Q x perchè, come si è 

 detto sopra, la corrispondenza subordinata tra O e 0' dalla projettività stabilita 

 colle (1), dà luogo all'identità entro la serie g) p _ 2 che le rappresenta su f. Se adunque 

 supponiamo che N' passi per Q allora alla glpl 2 formata dai gruppi canonici per P 

 (individuata da T, N), risponde una g^-ì individuata da T", N', cioè formata dai 

 gruppi canonici passanti per Q. Il teorema resta così completamente stabilito. 



Se invece della (1) si fosse stabilita la corrispondenza 



(2) ( 1DH ) 



si sarebbe ottenuta un'altra projettività tra le serie canoniche e quindi un altro rife- 

 rimento birazionale tra C, C, il quale si ottiene, com'è evidente, dal primo, molti- 

 plicandolo per la Ts di C ; in esso a P corrisponde Q ± . 



13. — La condizione di cui abbiamo ora dimostrata la sufficienza, è evidente- 

 mente anche necessaria: possiamo adunque enunciare: 



Condizione necessaria e sufficiente per l'identità birazionale di due curve algebriche C, C 

 contenenti ciascuna una sola Te ellittica, è che esista tra le due fi una corrispondenza 

 biunivoca T la quale : 



a) muti il gruppo dei punti doppi dell' una nel gruppo dei punti doppi del- 

 l'altra. 



(*) Le £, S' s'intendono riferite in modo che due gruppi, K, K' corrispondenti di esse siano 

 rappresentati su f dal medesimo gruppo E di S. 



(**) Se P è generico è da escludersi il fatto che N passi per Pi, altrimenti tutti i gruppi cano- 

 nici per P, passerebbero anche per P^ Sopra una curva iperellittica ciò succede per quei punti P 

 che appartengono a coppie comuni alla Ta 1 ed alla g^ 1 . 



