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P) muti ogni gruppo canonico di C composto colla fi , in un gruppo analogo di C. 

 Inoltre : 



Per ogni corrispondenza T soddisfacente le a), (3), esistono due riferimenti arazio- 

 nali tra C, C. 



§ 6. Enunciato definitivo delle condizioni d'equivalenza: 

 serie fondamentali. 



14. — Introduciamo ora un concetto importante, che ci permetterà di mettere 

 sotto una nuova forma più efficace l'enunciato teste stabilito. 



Abbiamo visto che se si ha una curva C contenente una fi ellittica, e si fanno 

 corrispondere in modo determinato i gruppi di questa f] ai punti di una curva ellit- 

 tica f, si ha su f un certo gruppo di diramazione G e una certa serie S (#£z;) la 

 quale rappresenta su f la <jf^f 8 formata dai gruppi canonici di C composti colla fi. Or- 

 bene noi diremo che l'insieme del gruppo G e della serie S costituisce una rappre- 

 sentazione di C su f e indicheremo questa rappresentazione col simbolo [G, S] ; la serie S 

 si dirà serie fondamentale relativa alla rappresentazione considerata. E chiaro che, 

 se due curve C, C hanno una medesima rappresentazione [G, S], sono soddisfatte le 

 condizioni a), (5) del n° precedente, e quindi C, C sono equivalenti. 



Nel seguito considereremo soltanto rappresentazioni in cui il gruppo G rimane 

 lo stesso perchè supporremo sempre verificata la condizione a). 



Ora è facile vedere che una stessa curva C può ammettere più di una rappre- 

 sentazione su f collo stesso gruppo G, e ciò avviene allora e solo allora che G è 

 mutato in se da qualche trasformazione di f. Infatti è chiaro che tanto il concetto di 

 rappresentazione come quello di serie fondamentale sono invarianti di fronte alle tras- 

 formazioni birazionali di f, e quindi in particolare di fronte alle trasformazioni di f 

 in sé che lasciano fisso G. 



Supponiamo ora date due curve ellittiche doppie C, C mediante due loro rap- 

 presentazioni [G, S], [G, S'], la prima essendo relativa a C, la seconda a C ; come 

 s'interpreteranno allora le condizioni del numero precedente ? A causa della trasfor- 

 mazione T che comparisce in quell'enunciato, un punto di f che rappresenta un gruppo 

 della fi di C, si muta in quel punto di f che rappresenta il gruppo omologo di C, 

 di modo che si ha su /' una trasformazione t; per la condizione a) questa trasfor- 

 mazione dovrà mutare in se G, e per la condizione P) essa dovrà cambiare S in S'. 

 Viceversa se esiste t e muta G, S, in G, 8', esiste anche T e soddisfa alle condi- 

 zioni a), (3). Abbiamo dunque il seguente enunciato più espressivo: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè due curve algebriche C, C, contenenti 

 ciascuna una sola fi ellittica siano equivalenti, è che le C, C ammettano sulla sfessa curva 

 ellittica i due rappresentazioni [G, S], [G, S'], e che esista una trasformazione t di i la 

 quale muti in sé il gruppo G e trasformi S in S' (*). 



(*) Osserviamo una volta per sempre che tale enunciato ha valore anche se C, C contengono 

 più di una t 2 ' ellittica, purché ci si limiti a considerare quelle trasformazioni che mutano una deter- 

 minata fi ellittica dell'una, in una T3 1 ellittica pure determinata dell'altra. 



