13 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 325 



Da ciò consegue immediatamente che: 



II numero delle famiglie distinte di curve C collo stesso gruppo di diramazione G 

 è eguale al numero delle serie fondamentali (relative a G), distinte per trasformazioni 

 Irrazionali di f, che mutino in sé il gruppo G. 



15. — Se adunque, come avviene in ipotesi generiche, e come si suppose a] 

 Gap. 1°, il gruppo G non è mutato in sé da trasformazioni di f, tant'è il numero 

 delle famiglie distinte, quant'è quello delle serie fondamentali relative a un dato 

 gruppo G. Ora poiché la corrispondenza tra f e C muta gruppi equivalenti dell'una 

 curva in gruppi equivalenti dell'altra, se E è un gruppo di una serie fondamentale 

 dev'essere 22? =G. I gruppi R derivano adunque dalla divisione per 2 di G, e quindi 

 sono in numero di quattro tra loro non equivalenti, come si deduce applicando i 

 ragionamenti del n° 8 (*). 



Rimarrà ora da vedere a quante si riducano le serie fondamentali distinte nel 

 senso dell'enunciato precedente, quando G si particolarizza rispetto alle trasforma- 

 zioni di f; ma ciò rimanderemo alla fine del Capitolo, importandoci ora di connettere 

 i risultati teste ottenuti con quelli del capitolo precedente. 



§ 7. Relazione tra il gruppo di diramazione e la serie fondamentale 

 relativi ad una medesima curva ellittica doppia. Gruppi di 

 diramazione apparente minimi. 



16. — Si presenta ora una interessante questione. — Sia data una curva ellit- 

 tica doppia C mediante le equazioni 



(3) f(zy) = 0, z* = R{xy), 



f=0 essendo una cubica ellittica projettivamente determinata. È chiaro che le equa- 

 zioni (3) definiscono una rappresentazione di G su f nel senso del n° 14, in quanto 

 esse pongono in corrispondenza biunivoca determinata, i gruppi della Ts coi punti di f. 

 Di questa rappresentazione le equazioni (3) definiscono subito un elemento invariante, 

 ed è il gruppo G; ci proponiamo di vedere, come si possa, mediante le accennate 

 equazioni (il che è quanto dire mediante G e il gruppo di diramazione apparente l~), 

 individuare sulla curva f=0 l'altro elemento invariante, e cioè la serie fondamen- 

 tale S. Reciprocamente sia data sopra una curva f(xy)=Q, una rappresentazione [G, S] 

 della C; proponiamoci di rappresentare la C con equazioni del tipo (3), cioè di indi- 

 viduare il gruppo di diramazione apparente. 



17. — Il problema che ci siamo proposti è adunque di cercare una relazione 

 tra r ed S, sopra uno speciale modello di curva ellittica f(xy) = 0. — Le relazioni 

 che ora troveremo, saranno evidentemente proiettive, in quanto son legate ad f e a V. 

 Useremo, per lo scopo propostoci, del seguente procedimento: 



(*) Veramente ciò suppone che ad una serie fondamentale data " a priori, corrisponda un'ef- 

 fettiva curva doppia C; che ciò sia vero lo si desume " a posteriori „ , dato che il numero delle 

 famiglie risulta eguale a quello trovato al n° 8. 



