326 ANNIBALE COMESSATTI 14 



Sia u l'integrale ellittico (normale) di f, coi periodi 1, t e si dica U la somma 

 dei valori che esso assume nei punti G, V la somma dei valori relativi a un gruppo 

 della g\ segata su f dalle rette del piano. Poiché le serie fondamentali relative 

 a G risultano dalla divisione per 2 del detto gruppo, esse saranno caratterizzate 

 dalle somme 



K ' 2'2~2'2~2'2'2 



mentre se 21 è l'ordine di B = 0, la somma dei valori di u nei punti di f sarà 

 congrua ad uno dei quattro numeri 



(5) ir—}, iv-Z + \ t ir— f + y, ^-| + i r 1 .. ( modd - M)(*)- 



Supponiamo che il gruppo T relativo alla curva (3), appartenga, p. es., alla serie 

 caratterizzata dalla somma 



(6) ir-f + s , 



s essendo uno qualunque dei quattro valori 0, -~, -5-, T" ; dico che la serie fon- 

 damentale corrisponde allora alla somma 



Infatti, se T è un gruppo della serie (7), la somma dei valori di u nei punti di 

 un gruppo T-\~f, è congrua ad IV, e quindi per T-f-T passa una curva T(xy)=§ 

 d'ordine l; la curva ì?(xì/)=0 passa invece per G-\-2V. 



Si consideri ora la funzione 



O 



Essa è uniforme sulla curva C perchè questa risponde biunivocamente ai valori 

 del radicale |/i? nei punti di f: ora il gruppo dei suoi zeri è D, e il gruppo dei suoi 

 poli è quel gruppo composto colla t» che ha per imagine T. Ma allora è 



9 = 7), 



onde sarà un gruppo canonico. Il gruppo T appartiene quindi alla serie fonda- 

 mentale. 



Reciprocamente, se C ammette una rappresentazione [C?|Tj], dico che C è bira- 

 zionalmente identica ad una curva C, la quale si può rappresentare su f col gruppo 

 di diramazione apparente l~. Infatti poiché per T -\-V passa una curva d'ordine l, ed 



(*) Si può osservare ohe le (4), (5) mettono in evidenza i caratteri, rispettivamente invariantivo 

 e proiettivo, dei due concetti di serie fondamentale, e di gruppo di diramazione apparente ; in quanto 

 le (5) dipendono da V, le (4) no. 



