15 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 327 



è per ipotesi 2T=G, cioè 2T-\- 2T = G -f- 21", per il gruppo G -f- 2T passa una 

 curva S(^) = 0, d'ordine 21. Allora la curva C" data dalla formola 



è rappresentabile su /' col gruppo di diramazione apparente l~, e quindi, pel teorema 

 precedente, ammette una rappresentazione [(?]T|]. Ma allora C e C" ammettono la 

 stessa rappresentazione, e quindi (n° 14) sono birazionalmente identiche. 



18. — Le conclusioni del n° precedente ci danno adunque la relazione definitiva 



(S) T+r = w, 



(ove si è indicato con R un gruppo della <j| segata su f dalle rette del piano) ; essa 

 risponde in modo completo alla questione propostaci al n° 16 (*). Da questa relazione 

 si ricava subito il seguente criterio : 



Sia C una curva ellittica doppia, e [Gf, S] una sua rappresentazione sulla curva ellit- 

 tica f. Si scelga su quest'ultima una g, di cui sia H un gruppo generico, e si fissi un 

 conveniente intero 1 in modo che la serie |1H| contenga (parzialmente o totalmente) 

 la S; sia \A\ la serie residua. 



Se si rappir esentano i gruppi della g\ anzidetta colle rette di un piano, alla curva f 

 risponderà una curva f, su cui la serie ,A\ avrà per imagine una certa serie lineare ì I | _ 

 Allora la curva C si potrà sempre riferire birazionalmente ad una curva C rappresen- 

 tata su f con gruppo di diramazione apparente situato entro jl"|. 



Questa proposizione risulta provata subito dal fatto che se R, T sono due gruppi 

 di f, rispondenti a due gruppi di \S], S, tra R, T, T ha luogo la relazione (8). Essa 

 si presta utilmente per scrivere le equazioni di particolari curve ellittiche doppie; 

 noi ci limiteremo a farne uso per ricercare quale sia il minimo numero di punti che 

 possono competere al gruppo di diramazione apparente relativo ad una data curva C, 

 cioè il minimo numero di punti doppi ch'essa può possedere quando la si consideri 

 sopra un cilindro cubico ellittico f{xy) = 0. 



19. — Evidentemente, per rispondere all'ultima questione propostaci, basterà 

 ricercare il minimo valore di l per cui IR contiene S; questo valore, come si rico- 

 nosce subito, è quello per cui la dimensione SI di IH soddisfa alla diseguaglianza 

 3l^>p — 1>3(Z — 1). Se quindi p = 3« si ha subito l=n. e il numero dei punti 

 di r risulta eguale ad 1, [3« — (3ra — 1)]; se p=dn-\-l si ha l=n-\-l e il numero 

 cercato è 3; se infine p = 3w-{-2, è Z = k-j-1 e il numero dei punti di T risulta 2. 



Osserviamo che il caso p = Bn-\-l si presta ad una eccezione. Infatti allora 

 l'ordine di S è Sn; e quindi se S è composta con una gì, scegliendo in quest'ultima 

 il gruppo H e ponendo l = n si ha S=III; ciò porta di conseguenza la possibilità 

 di far sparire completamente il gruppo I", scegliendo convenientemente la cubica f = 

 dell'enunciato stabilito al n° precedente. 



(*) Osserviamo che quando T non esiste si ha T=IR, e quando T non esiste l~ = 2.R. In questo 

 ultimo caso il gruppo 2T è segato su f da una curva d'ordine 21, cioè è l'intersezione completa 

 di f=Q con B = 0. Ciò d'altronde deve accadere perchè su C manca la serie canonica (p=l) e 

 quindi G non esiste. 



