328 ANNIBALE COMESSATTI 16 



§ 8. Casi di riducibilità pel numero delle famiglie distinte. 

 Corrispondenze di una curva ellittica doppia che mutano in se la fi. 



20. — Sia dato, sopra la curva ellittica f, il gruppo G, e siano S u S 2 , S 3 , S 4 

 le serie fondamentali ad esso relative; C lt C 2 , C 3 , C 4 siano quattro curve doppie rap- 

 presentate su f colle serie corrispondenti ai loro indici. 



Sappiamo che se esiste una corrispondenza t di f che muta in sé G, e cambia S, : 

 in Sj questa è imagine di due corrispondenze che mutano C,- in Q; ciò deriva dai 

 ragionamenti fatti al n° 14. D'altra parte questi ragionamenti hanno valore anche 

 per i=j, come si può senza difficoltà verificare; onde se la x cambia Si in se stessa 

 essa è imagine di due corrispondenze di C, che mutano in se la rà- 



La ricerca che ora faremo consisterà nel determinare, a seconda delle corrispon- 

 denze di f con cui è composto G, come si scambiano le serie fondamentali: per le 

 osservazioni ora fatte, i risultati che otterremo ci daran modo di determinare: 

 1° Qucd'è il numero delle famiglie che rimangono distinte; 

 2° Quand'è che una curva C ammette una (e quindi due) corrispondenza bira- 

 zionale che muta in sé la fi- 



Questa determinazione sarà fatta in modo completo quando si saranno assegnati, 

 per ogni trasformazione t. i cicli di cui è composta la sostituzione che la x eseguisce 

 sulle serie Si ; il numero dei cicli darà allora quello delle famiglie distinte, e quelle tra 

 le serie considerate che formeranno cicli di un solo elemento, competeranno alle curve 

 contenenti una corrispondenza che trasforma in sé la yl. 



21. — Incominciamo dall'esame delle corrispondenze ordinarie (*). 



1° Corrispondenze di P specie (gj). Sono rappresentate da equazioni del tipo 



(9) u' = — u -f- C, cioè v! -\-u = C, (modd. 1, x). 



Una corrispondenza di l a specie che muti in se G potrà avere soltanto un numero 

 pari de' suoi punti doppi in punti di questo gruppo. Distingueremo pertanto le cor- 

 rispondenze di l a specie in 



a) corrispondenze senza punti doppi su G. 



In questo caso la somma dei valori di u nei punti di G, che per brevità dino- 

 teremo nel seguito con U, è {p — 1)0, onde le quattro serie son caratterizzate dai 

 valori 



(p-i)T' Ip-Vt+T' (p-^t+t- (p-^f+Hr- 



che attribuiremo (come si farà sempre in seguito), nell'ordine scritto ad S t , S 2 , S 3 , S 4 . 

 Applicando le formole (9) a queste somme, ciascuna di esse si muta in se stessa, e 

 quindi la sostituzione che la corrispondenza (9) eseguisce sulla serie S, è composta 

 dei cicli (S x ) (S 2 ) (S s ) (S 4 ). 



(*) Per lo studio sintetico delle corrispondenze di una curva ellittica vedi Segre, Le corrispoti- 

 denze univoche nulle curve ellittiche [" Atti della R. Acc. di Torino „, T. XXIV (1889). p. 739]. 



