17 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 329 



b) corrispondenze con 2 punti doppi su G. 

 Siano, ad es., i due punti doppi 



__ C_ __ C_ _| 1 

 2 ' " — 2 ' 2 ; 



si ha allora £ r = (p — 1)C+— ; e quindi ne derivano per le quattro serie i valori : 



/ n c i 1 i ^\ c 3 t n c I 1+2t , -,. C , 3+2t 



( P — l)-2+ T , (p — l)y + T , (p — 1)^4-— |— , (p — 1 )y + -^— ; 



da cui, applicando le (9), si ricavano subito i cicli (S^S,), {SSò- Ad analogo risul- 

 tato si perviene riferendosi ad altri due punti doppi. 



e) corrispondenze con 4 punti doppi, su G. 

 Questo caso si riduce al caso a) perchè è c' = (p — 1)C, come si verifica subito. 



2° Corrispondenze di 2 a specie. Son rappresentate da un'equazione del tipo 



(10) «'=« + C, (modd. 1, t); 



e dippiù dovendo mutare in se G, devono essere periodiche, il loro periodo essendo 

 un divisore di 2p — 2 ; ciò porta 



(11) (2p — 2)C = 0, (modd. 1, t). 

 Se ora rappresentiamo coi valori 



1 C I T C ! 1+T . 



s , s -f- -5- , s-f-5-, s 



2 ' ' 2 ' ' 2 



le somme relative alle nostre serie, e le trasformiamo colle (10), tenendo conto 

 delle (11), ricaveremo 



s-f (p-i)c, s + { P -i)c+\, s+ip-W+j-, s+(p-i)c+^. 



Da ciò si rileva che quando 



(p — 1)C = 0. (modd. 1, t). 



cioè quando il periodo della (10) è un divisore di p — 1, i cicli sono (SJ, (S 2 ), (S 3 ), (S 4 ); 

 in caso contrario invece dovrà essere 



(p-l)C=S, 



S essendo una somma di semiperiodi. I cicli allora son due, ciascuno formato di due 



elementi: se, ad es., è S^= — essi sono precisamente (SA), (S3S4). 



Passiamo ora all'esame delle corrispondenze singolari. 



1" Caso armonico. Le corrispondenze singolari hanno allora i tipi 



(12) u' = ±iu-\-C„ (modd. 1, i). 



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