330 ANNIBALE COMESSATTI 18 



Riferiamoci per semplicità a quelle per cui vale il segno +; esse sono a periodo 4, 

 il loro quadrato essendo la gì 



(13) u' = — u + C(l -f i), (modd. 1, i). 



Conviene oi-a distinguere due casi: 



a) la gì non ha punti doppi su G, o ne ha quattro; esso allora conterrà k gruppi 

 di 4 punti, essendo quindi 2p — 2 = 4k, p = 2k + 1 ; si avrà in tale caso approfit- 

 tando della (13) 



17=5 2*0(1 + »), (modd. 1, i), 

 e quindi si ricaveranno per le quattro serie i valori 



TtO(l + i), *C(l + i) + Ì ■ *C(1 + 'O + 4 . ^C 1 + •) + ~^ - 



da cui, in definitiva, usando delle (12) si dedurranno i cicli (Sj), (S 2 ), (S s ), (S 4 ). 



b) Za g\ ha due punti doppi su G; essi sono, o i punti doppi della (13) o la 

 sua coppia involutoria ; e la somma dei valori di u ad essi relativa è 



da cui segue 



o(i + + J 4 i ; 



Operando al modo solito, si trae come ultimo risultato un unico ciclo (S , 1 S 2 S , 3 iS' 4 ). 

 2° Caso equianarmonico. Le corrispondenze singolari, rispettivamente periodiche 

 di 3° e di 6° ordine hanno per equazioni 



u' == e« -j- C 



(14) (modd. 1, t), 



II' = — €« + C 



e essendo una qualunque delle due radici cubiche imaginarie dell'unità. 



Una corrispondenza ciclica di 3° ordine darà luogo a cicli formati di 3 o di un 

 solo elemento tra le serie fondamentali ; onde son possibili i due casi 



(S 1 ), (S 2 ), (S s ), (S 4 ) ; (SJ (S 2 <W 



Ma il primo di essi deve rifiutarsi, perchè se le quattro serie sono caratterizzate 

 dai valori 



*S. £ + y , S + y . S -| g— , 



e la prima è mutata in sé dalla 1" delle corrispondenze (14) dev'essere 



(15) S=eS+(p — 1)C, (modd. 1, e). 



