19 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 331 



Da ciò segue che la seconda serie non può comportarsi nello stesso modo, perchè 

 si avrebbe 



S+i- = eS+ y + (/>— 1)C, (modd. 1,6), 

 e quindi per le (15) y = -5- il che è assurdo. 



Adunque in questo caso i cicli sono (Sj), (S^S^S^). 



Questo risultato si applica anche alle corrispondenze cicliche di 6° ordine, osser- 

 vando che il loro quadrato è ciclico di 3° ordine; ciò si desume con analisi assai 

 semplice su cui non ci indugiamo. 



CAPITOLO TERZO 



Le superficie di Riemann 

 distese sopra una superfìcie ellittica doppia. 



§ 9. Questioni generali; condizioni d'equivalenza. 



22. — Daremo in questo capitolo una nuova forma ai risultati già ricavati, 

 servendoci delle proprietà delle funzioni a due valori sopra una superficie di Riemann 

 ellittica; accennando anche alla costruzione delle superficie relative alle curve ellit- 

 tiche doppie, mediante due superficie ellittiche sovrapposte (*), e ad alcune questioni 

 che si riattaccano a quest'ordine di concetti. 



Diciamo F una superficie riemanniana di genere 1 (di cui prenderemo come 

 modello il toro), e sia B(xy) un polinomio, funzione uniforme del punto x, y varia- 

 bile su F. Consideriamo la funzione \/R che sarà a due valori sopra F; per ogni 

 circuito chiuso della superfìcie, che si faccia descrivere al punto x, y si avrà una 

 certa sostituzione sui valori di questo radicale ; ed è chiaro che essa sarà deter- 

 minata, quando sia dato il gruppo degli zeri dispari del polinomio B, cioè il gruppo 

 di diramazione G del radicale, e due circuiti fondamentali a, (3 (cioè due circuiti che 

 presi insieme costituiscono l'unica retrosezione di F), colle sostituzioni (**) ad essi 

 relative. 



Prendiamo ora a considerare un'altra funzione a due valori \S(xy); se le due 

 curve C, C i cui punti rispondono ai valori dei due radicali \B, ]'S sono birazio- 

 nalmente equivalenti, ci sarà la possibilità di associare ad ognuna delle due deter- 



(*) È questa una generalizzazione del problema di costruire le superficie di Riemann mediante 

 un certo numero di fogli piani. Tale generalizzazione, cioè la costruzione delle superficie di Riemann 

 di genere p distese sopra una superficie v-pla di genere ir, è trattata brevemente da Hlrwitz in 

 una sua Memoria dei " Math. Ann. „ da noi citata nella introduzione. L'A. però ivi si attiene al 

 solo punto di vista to]:>ologico. approfondendo di più qualche caso particolare, come quello già da 

 noi citato. 



(**) Queste sostituzioni saranno evidentemente l'identità o lo scambio delle due determinazioni; 

 le indicheremo, nel seguito, rispettivamente con (1, 1), (1, 2). 



