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minazioni di \ R in un punto qualunque P di F una delle determinazioni di \S in 

 un punto P', omologo di P in una trasformazione t di F che trasforma G in se stesso. 

 Ora perchè ciò possa avvenire senza ambiguità, si richiede evidentemente che la t 

 muti un circuito chiuso che eseguisce una certa sostituzione sui calori di yR, in un cir- 

 cuito che eseguisca sui valori di VS la medesima sostituzione ; e tale condizione è, come 

 si riconosce con facilità, anche sufficiente. 



23. — Interessano alcune forme particolari che si possono dare alla condizione 

 generale del n° precedente. Invero nel caso più generale che la x sia identica, essa 

 ne dice subito che ogni circuito chiuso di F dovrà produrre sulle determinazioni dei 

 due radicali la medesima sostituzione. Da ciò si può immediatamente ricavare, come 



al n° 6, che ognuna delle due determinazioni di |/-= è una funzione uniforme sopra F, 



perchè essa è il quoziente di una delle determinazioni di \/R per una delle deter- 

 minazioni di \/S, e queste, per un circuito chiuso di F cambiano, al più, contempo- 

 raneamente di segno. Ne seguono quindi, i risultati del cap. 1°. 



La condizione posta più sopra sarà evidentemente verificata, per ciò che si è 

 detto al principio del numero precedente, quando coincideranno le sostituzioni rela- 

 tive a j/^ )/S e ai due circuiti a, fi. "Ne segue che tante sono le famiglie di curve C, 

 quante le coppie distinte di sostituzioni relative ad et, P; e poiché i tipi di sostitu- 

 zioni possibili sono due, si ricava subito che il numero delle famiglie è, come sape- 

 vamo dai Cap. precedenti, eguale a quattro (*). 



Se però manca il gruppo G una delle suddette famiglie è composta di curve 

 riducibili e ciò accade quando le sostituzioni relative ad a, p coincidono ambedue 

 colla sostituzione identica; allora ognuna delle determinazioni di yR è una funzione 

 uniforme sopra F, cioè R è il quadrato di un polinomio P{xy). Le curve di questa 

 famiglia son dunque rappresentate da equazioni del tipo 



f(xy) = 0^z* = P*(xy), 



e perciò si spezzano nelle due curve ellittiche 



f(xij) = 0, z = P{xy) ; f(xy) = 0, z = — P(xy) , 



come si era visto, per altra via, al n° 8. 



(*) Ciò veramente suppone che ad ogni coppia di sostituzioni data a priori, corrisponda un'ef- 

 fettiva curva doppia C, cioè un'effettiva funzione radicale; questa lacuna si può togliere in base ai 

 risultati dei Cap. precedenti, ma anche, come tosto vedremo, coll'uso del teorema d'esistenza delle 

 funzioni algebriche uniformi sopra un'arbitraria superficie di Riemann. 



