21 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 333 



§ 10. Cenno sulla costruzione delle superficie di Riemann formate da 

 due fogli di genere 1 ; riducibilità del numero di famiglie 

 distinte. 



24. — Fissiamo sopra F, in modo arbitrario i due circuiti fondamentali a, (3, e 

 sia C una curva algebrica, di genere p, rappresentata su F doppia, e coordinata ad 

 un dato gruppo G e ad una data coppia di sostituzioni s lt $. 2 , relative ordinata- 

 mente ad a, (3. Proponiamoci di segnare su F un sistema di linee tali che ogni cir- 

 cuito chiuso di F il quale non le attraversi produca la sostituzione identica. 



Ciò si fa in modo assai semplice. Congiungiamo dapprima a due a due i punti 

 di G mediante v=^ — 1 linee che non si taglino tra loro, né taglino le linee a, p; 

 dopo ciò due circuiti omologhi (*) di F (tracciati rispettando gli ostacoli interposti), 

 eseguiranno la medesima sostituzione, perchè per ridurli l'uno all'altro con deforma- 

 zione continua bisognerà sempre attraversare un numero pari di punti G ; ed in par- 

 ticolare ciò avverrà per tutti i circuiti del tipo a e per quelli del tipo (3. A comple- 

 tare la costruzione basterà quindi impedirci di descrivere circuiti chiusi che siano 

 omologhi a quelli dei circuiti a, (3, che eseguiscono la (1, 2) ; il che faremo, se per 

 esempio [3 produce la (1, 2), impedendoci di attraversare la linea a. Se si indica con l 

 il complesso delle linee (al più due), così aggiunte, il sistema delle linee l, m 1 ,ni2, ..., m v , 

 risponde adunque allo scopo proposto. 



Se ora i punti della C sono in corrispondenza biunivoca coi valori del radicale 

 j/jB noi potremo, partendoci da un punto di F con una delle determinazioni di 

 questo radicale, deporre in ogni punto di F l'unico valore che deriva per continuità 

 da quello di partenza. Supponiamo ora data una superficie F' sottoposta ad F ed 

 infinitamente vicina; se su F 1 segnamo in corrispondenza alle linee l, ih, le linee V , tri 

 potremo, in modo analogo, deporre su F l'altra determinazione del radicale j/R. 

 Se quindi noi tagliamo le F, F' lungo le linee l, m, l', m' e congiungiamo i bordi op- 

 posti di due linee sovrapposte, formeremo così un'unica superficie connessa su cui la 

 \/ R sarà una funzione uniforme: la superficie di Riemann relativa alla curva C. 



Quest'ultima costruzione è evidentemente possibile anche quando non sia data 

 la funzione \/R, ma siano date le sostituzioni s lt s 2 , relative ad a, (3. Alla coppia s lr s 2 

 viene in questo modo a corrispondere una superficie di Riemann anche indipenden- 

 temente dall'aver fissato " a priori „ un radicale le cui determinazioni si permutino 

 secondo la sostituzione di date. Ogni funzione uniforme sopra questa superficie è 

 una funzione a due valori su F, del tipo A -f- \' B; le determinazioni di y B si per- 

 mutano allora secondo le sostituzioni prefissate. Dal teorema d'esistenza delle fun- 

 zioni algebriche uniformi sopra una superficie di Riemann data " a priori „ resta 

 cosi provata " a posteriori , l'esistenza del radicale [^B, le cui permutazioni seguono 

 l'andamento delle sostituzioni date. 



(*) Usiamo qui e nel seguito le locuzioni e le notazioni di Poincaré. Cfr. Severi, Lezioni di geo- 

 metria algebrica, Padova, Draghi (1908), pag. 273. 



