33-1- ANNIBALE COMESSATTI 22 



Osservazione. — La costruzione che noi abbiamo dato è legata alla scelta dei 

 circuiti a, f3, perchè i tagli l dipendono dalla natura delle sostituzioni eseguite da tali 

 circuiti. Siccome, se G esiste, variando a, (3, variano le sostituzioni relative, si può 

 far variare in più modi la costruzione della superficie di Riemann relativa alla me- 

 desima curva doppia C. Se, p. es., si scelgono a, (3 in modo che eseguiscano ambedue 

 la (1, 1) spariscono i tagli /; se invece si fa in modo che a, (3, eseguiscano la (1, 2), 

 bisognerà tagliare F lungo ambedue le linee a, [3. 



25. — Cerchiamo ora brevemente d'interpretare le condizioni generali d'equi- 

 valenza del n° 22, nel caso che la trasformazione t che ivi comparisce non sia 

 l'identità. Siano perciò a, |3, due circuiti fondamentali di F, a', (3' i loro trasformati 

 mediante t. 



In generale non si potrà affermare che a', (3' siano omologhi ad a, (3 e neppure 

 ch'essi siano due cicli fondamentali; però è facile vedere che ogni circuito chiuso 

 di F è omologo ad una combinazione lineare di a', (3' (*). 



Ciò posto sia G una curva doppia rappresentata su F col gruppo di dirama- 

 zione G, s 1 , s 2 le sostituzioni relative a C ed ai cicli a, |3; e supponiamo che esista 

 una curva C, collo stesso G e colle sostituzioni s x , s 2 , relative ad a', [3'. Ciò è suf- 

 ficiente per dedurre che se o" è un circuito chiuso di F, che eseguisce relativamente a G 

 una sostituzione s, il circuito o"', corrispondente affin t _1 , dovrà eseguire rispetto a C" 

 la medesima sostituzione ; basta osservare che se è dato un circuito a' — \a' -f- mP' il 

 suo corrispondente in t _1 è o" ~ Xa ~\- uf3, e che alla deformazione continua che riduce a' 

 ai circuiti Xa', u(3', corrisponde la deformazione continua che riduce o" a Xa, u{3, venen- 

 dosi ad attraversare, nelle due deformazioni, lo stesso numero di punti di (?(**). Adunque 

 per il teorema del n° 22 è C equivalente a C, semprechè però le sostituzioni s x , s 2 

 relative ad a', (3 determinino la curva C. E ciò invero si verifica perchè è dato 

 anche 67, e si sa che ogni circuito chiuso di F è omologo ad una combinazione lineare 

 di a', p'. 



Se ora si indicano con G^ , o" s le sostituzioni relative a G ed ai cicli a, (3. può 

 darsi che non sia a 1 = s lf cr 2 = s 2 . Ciò prova come l'esistenza di una t che muti in 

 sé 67, possa portare di conseguenza che due curve C, C distinte nel senso del n° 23 

 non lo siano più effettivamente; e che quindi il numero delle famiglie distinte si 

 riduca ad essere minore di quello assegnato nel caso generale. 



Le considerazioni ora svolte c'indicano una via, mediante la quale si possono, 

 con considerazioni topologiche, ricavare i risultati ottenuti già al § 8 ; tuttavia non 

 ci addentreremo, per amore di brevità, in essa, bastandoci di aver posto il problema 

 sotto la sua forma generale. 



(*) Difatti sia a' un generico circuito di F, a il suo corrispondente in t '. Si avrà o"~Xa-!- nf5, 

 e poiché mediante t a cicli omologhi rispondono cicli omologhi, questa relazione si trasformerà 

 nella a'~Xa'-f np. 



(**) È chiaro che, rispetto ad una data curva C due circuiti omologhi di F eseguiranno o no la 

 medesima sostituzione, secondochè per ridurli l'uno all'altro, si dovrà attraversare un numero pari 

 o dispari di punti di G. 



