SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 335 



CAPITOLO QUARTO 

 Curve contenenti più ri ellittiche. 



§ 11. Alcune proprietà generali delle curve algebriche 

 contenenti iuta o più involuzioni (in particolare ellittiche) di 2° ordine. 



26. — In questo capitolo studieremo principalmente il caso in cui una curva 

 algebrica C, di genere p, contiene due fi ellittiche permutabili ; e dapprima ricave- 

 remo, coll'uso di noti risultati, alcune proprietà generali relative alle curve conte- 

 nenti involuzioni di 2° ordine, molte delle quali ci serviranno in seguito. 



Se si hanno sopra una curva C di genere p, due involuzioni fi, \~\ di generi tt, tt', 

 sopra la curva f che rappresenta la f\ ai gruppi di R vengano a corrispondere i 

 gruppi di una serie algebrica X d'indice 2 : se a questa serie si applica la forinola 

 di Castelnuovo (*) 



(1) d = 2v(m-{-p — l) — 2Z 



per v = m = 2, p = tt, esprimendo il numero d mediante il numero dei punti doppi 

 di H e quello u delle coppie comuni a fi, r\, si ha la formola 



(2) p = 2 (n + tt') + 1 — Z — u (**) 



la quale si presta a notevoli interpretazioni. — Anzitutto osserviamo cheseZ = 0, 

 sulla curva f di genere tt (che possiamo supporre > 0, altrimenti si potrebbe sosti- 

 tuirvi tt') la serie X è formata di gruppi equivalenti e quindi diviene d'indice 1, cioè 

 si riduce ad una g\; ciò porta di conseguenza la permutabilità delle due involu- 

 zioni fi , R . Poiché Z, u son < la (2) diviene 



(3) i><2(Tr + Tr') + l, oppure tt'>^=^ — tt, 



e, nel 1° caso dà un limite superiore pel valore del genere p, nel 2° un limite 

 inferiore per tt'. Notiamo che, tanto nel 1° quanto nel 2° caso, se il limite è rag- 

 giunto si ha Z = u = 0, e quindi le due involuzioni son permutabili e non hanno 

 coppie comuni. 



I casi delle formole (3) che più e' interessano, sono i due casi tt = ti' = 1 , 

 tt = 1, tt'=:0; il 1° ci dice che una curva contenente due f\ ellittiche non può avere 

 il genere superiore a 5, e che, nel caso estremo, si ottengono due fi permutabili ; il 2° 

 ne dà che una curva iperellittica contenente una f\ ellittica non può avere il genere 

 superiore a 3 (***). 



(*) Castelnuovo, Sulle serie algebriche di gruppi di punti appartenenti ad una curva algebrica 

 [" Rendic. della R. Acc. dei Lincei „ s. 7, T. XV (1906)]. 



(**) Castelnuovo, id., id., pag. 342. 



(***) Tokelli, Sulle involuzioni irrazionali nelle curve iper ellittiche [" Rendiconti del Circolo Mat. 

 di Palermo „, T. XIX (1905)], n° 6. 



