336 ANNIBALE COMESSATTI 24 



Nel caso di una curva contenente due f\ ellittiche, si può precisare qualche 

 cosa di più; infatti allora la curva/ 1 è ellittica e la serie Z è pure ellittica e i suoi 

 gruppi rispondono ai punti di una curva ellittica/" la quale rappresenta la Vi. Ora 

 possiamo dimostrare che il numero Z relativo a Z è oppure 1. Difatti sia I l'in- 

 tegrale ellittico di f e si consideri la somma dei valori che esso assume nei due 

 punti di un gruppo di Z; questa somma è evidentemente un integrale di l a specie 1' 

 appartenente ad f . Adunque o è T = cost, ed allora i gruppi di Z sono equivalenti 

 cioè Z=0; o ciò non avviene ed allora la somma dei valori di I nei punti dei 

 gruppi di Z sarà variabile, e non potrà mai assumere due volte lo stesso valore, 

 cioè in Z non vi potranno essere due gruppi equivalenti. Siccome Z dà appunto, in 

 questo caso, il numero dei gruppi di Z che stanno nella gì individuata da uno di 

 essi, così si conclude che Z= 1. 



L'applicazione della forinola (2) dà, nei due casi, u = 5 — p, u = 4 — p; si con- 

 clude quindi che: 



Sopra una curva algebrica di genere p <1 5 due yà ellittiche o hanno 5 — p coppie 

 comuni ed allora sono permutabili; oppure il numero delle coppie cornimi è 4 — p. 



27. — Riprendiamo la considerazione di una curva C di genere p contenente 

 una fi di genere ir, e proponiamoci di trovare quali sono, entro la serie canonica 

 di C, le serie lineari che son mutate in se dalla fi ; è chiaro infatti che ce ne saranno 

 due le quali sono formate dai gruppi uniti nell'omografia involutoria determinata 

 dalla ri entro la serie canonica. 



Premettiamo una osservazione: una serie lineare i cui gruppi siano trasformati 

 in se dalla f\, o avrà tutti i suoi gruppi formati da coppie di punti conjugati nella yl 

 medesima, cioè composti colla Y2; oppure avrà come punti fissi alcuni dei punti doppi 

 della fi , e, fuori di questi, avrà ancora i suoi gruppi composti colla stessa fi • S'in- 

 tende che un gruppo potrà essere composto colla y» anche contenendo dei punti doppi 

 della stessa, purché li contenga un numero pari di volte. 



Ciò premesso ritorniamo alla questione proposta; un noto teorema di Humbert (*), 

 ci permette di rispondervi subito col seguente enunciato: 



Entro la serie canonica di una curva algebrica di genere p contenente una fi di 

 genere n, esistono due serie lineari, di dimensioni rispettive n — 1, p — tt — 1, i cui 

 gruppi son mutati in sé dalla y» . La prima di esse ha come punti fissi i punti doppi 

 della t» e, fuori di essi, è composta colla f\; la seconda è invece per intero composta 

 colla fi. 



Facciamo alcune brevi osservazioni a questo teorema. Si potrebbe far vedere 

 con ragionamento geometrico, ch'esso è contenuto implicitamente nella interpreta- 

 zione geometrica della forinola di Zeuthen, ma ci risparmiamo questa digressione. 

 Piuttosto rileviamo che, nel caso non iperellittico, esso si deriva immediatamente, 

 da una considerazione dovuta a Segee (**), la quale consiste in ciò che sopra la curva 



(*) Hdmbert, Sur quelques points de la théorie des courbes et des surfaces algébriques [" Journ. de 

 Math. „ s. IV, T. X (1894), pp. 169-201]. n° 13 della Prima Memoria, Des involutions sur les courbes 

 algébriques. 



(**) Segre, Sulle curve normali di genere p dei rari spazi [" Rendiconti dell'Ist. Lombardo „, s. II, 

 T. XXI (1888), pp. 523-528]. 



