25 SULLE CDEVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 337 



canonica C 2? _j di S p ^ l , la fi è subordinata da un'omografia involutoria, che ha pur 

 spazi-asse un S^-i ed unSp-jr-i, il primo dei quali non incontra la curva, mentre 

 il secondo la incontra nei punti doppi della ri- È chiaro che, in questo caso, le 

 serie lineari dell'enunciato sopra stabilito, son segate dagl' iperpiani per gli spazi- 

 assi anzidetti. Nel caso particolare ir = 1 gli spazi uniti sono un S ed un S p _ z e 

 quiudi la curva ellittica sta sopra un cono (le cui generatrici son corde della curva), 

 che sega lo S P _> unito nella C p _, normale ellittica di quello spazio. 



§ 12. Curve contenenti due ri ellittiche permutabili: ricerca delle con- 

 dizioni d'esistenza e loro espressione sulla curva ellittica che 

 rappresenta una delle ri- 



28. — Proponiamoci di ritrovare quali siano le condizioni necessarie e suffi- 

 cienti perchè una curva C di genere p (1 < p < 5) contenente una Ts ellittica, ne 

 contenga un'altra permutabile colla l a . 



Siano perciò t, f~ due tali corrispondenze, e sia f la curva che rappresenta t; i 

 punti di f che rappresentano due gruppi di r trasformati l'uno nell'altro da T sono 

 omologhi in una corrispondenza involutoria di f la quale ha punti doppi (quelli 

 che rispondono ai gruppi di t passanti per due punti doppi di T, ed alle coppie 

 comuni), e quindi è una gì. Evidentemente il gruppo di diramazione G di f è mutato 

 in sé da questa gì; dico di più che esso è composto con essa, cioè che nessuno dei 

 punti doppi di tale ^ò cade su G. 



Infatti poiché la gì rappresenta su f due corrispondenze che mutano in sé la C 

 (la r e la t T) essa dovrà mutare in sé stessa la serie fondamentale di f relativa 

 a C (n° 20); ora ciò non accade se la gì ha due dei suoi punti doppi su (n° 21, 1° b), 

 mentre può accadere se la g\ ha su G tutti i suoi quattro punti doppi (n° 21, 1° e). 

 Quest'ultimo caso però si esclude colle considerazioni seguenti: se è ^><C 3 esso non 

 può verificarsi perchè G contiene meno di 4 punti, e se p > 3 neppure, perchè T 

 avrebbe soltanto quattro punti doppi e quindi non sarebbe ellittica. Rimane il caso 

 p = 3, nel quale, secondo l'ipotesi, i 4 punti doppi di T cadrebbero sui 4 punti 

 doppi di T- Ora ciò si esclude se C è iperellittica, perchè sulla retta doppia le f. 

 sarebbero rappresentate da due involuzioni I, I' cogli stessi punti doppi, e quindi 

 dalla stessa involuzione 2"; e ciò porterebbe r = r non potendo essere fgl = T 

 perchè il prodotto t gì è una fi di genere due (*) ; si esclude pure se la C non è 

 iperellittica, perchè allora nel piano che contiene la curva canonica C 4 si avrebbero 

 due omologie armoniche permutabili cogli assi coincidenti, e quindi coi centri coin- 

 cidenti, cioè identiche. 



29. — Adunque affinchè la C possieda, oltre t, un'altra xl ellittica è necessario 

 che su f vi sia una g\ con cui sia composto G : ricerchiamo cosa bisogni aggiungere 

 a tale condizione perchè essa sia anche sufficiente. Anzitutto è certo che la gì rap- 

 presenterà due corrispondenze di C (n° 21, 1°, a), le quali saranno involutorie (**), 



(*) Torelli, loco cit., pag. 6. 



(**) A priori si potrebbe soltanto affermare ch'esse sono involutorie o cicliche di 4° ordine. 



Serie II. Tom. LX. e 1 



