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perchè il loro quadrato avendo 2p ~\- 6 punti uniti (i 2p — 2 punti doppi di f e gli 

 S punti che corrispondono ai punti doppi di g\), sarà l'identità. Dette T e A = y V 

 queste due Ts, cerchiamo di determinarne i generi ti, ti'. 



E chiaro anzitutto che T, A saranno iperellittiche e che il genere di una di esse 

 sarà ;> 0. Sia pertanto tt ;> ; poiché la serie canonica della curva che rappre- 

 senta r sarà composta con una g\, trasformandola, si avrà su C una gf^i i cui 

 gruppi son formati da 2rr — 2 coppie di l~, trasformate a due a due l'una nell'altra 

 da "f: adunque tale serie darà su f una gf~* 2 composta colla g\. 



Osserviamo ora che aggiungendo a un gruppo della gf^-i i %(P — 2tt — |- 1) punti 

 doppi di T, si deve avere un gruppo canonico di C; ma i 2(p — 2tt— |— 1) punti doppi 

 di r son rappresentati su f da p — 2tt-|-1 tra i punti doppi della gì, e a un gruppo 

 canonico di C composto con t risponde su f un gruppo della serie fondamentale 

 relativa a C; onde aggiungendo alla g"~} 2 di cui sopra certi p — 2n+l punti, scelti 

 tra i punti doppi della gì. si avrà una g^ZÌ formata con gruppi della serie fon- 

 damentale. 



Distinguiamo ora due casi, secondochè sia p — tt — 2>0 oppure p — tt — 2= — 1 (*). 

 Nel 1° caso il genere tt' di A sarà p — tt — 1>0 (**) e quindi, ripetendo per A gli 

 stessi ragionamenti si avrà su f una g v Z.\~ 2 » i clu g ru PPÌ hanno come punti fissi i 

 rimanenti p — 2(p — tt — 1)+1 punti doppi- di gì, e, fuori di essi, son formati con 

 // — tt — 2 coppie della gì medesima. Le due serie lineari g"zl i Pl-\~ 2 trovate sono 

 formate dagli elementi uniti della corrispondenza involutoria subordinata dalla g\ 

 entro la serie fondamentale; fuori di esse, come facilmente risulta, non si hanno altri 

 gruppi uniti. Se invece p — tt — 2 = — 1 si ha tt=jo — 1, onde la g™Z\ e una 9 p v l\, 

 cioè è l'intera serie fondamentale (***); il genere di A sarà 0. 



Da tutto ciò appare che la determinazione dei generi tt, tt' dipende dal ricercare 

 come operi la gì di f sulla serie fondamentale; se ivi sono due serie unite di dimen- 

 sioni a, P(=p — a — 1), allora sarà tt = a -j- 1, ti' = (3 -f- 1 ; se l'intera serie fonda- 

 mentale sarà invece mutata in sé dalla gì, si avrà ti=jj — 1, tt'=0. 



Queste conclusioni si possono ridurre a forma più precisa mediante il seguente 

 criterio: 



(*) Non esistono altri oasi possibili: difatti l'ipotesi p — ti — 2<C — 1 darebbe it>j» — 1, it>p ed 

 essendo ir<^; — (forinola di Zeuthen) si avrebbe p< — - — , p<l; caso che si è escluso. 



O Ci 



(**) Si ha invero w-(-it' = y — 1. Difatti i punti doppi di T aggiunti a quelli di A danno gli 

 8 punti del gruppo ch'è trasformato di quello dei punti doppi di g s l . Si ha quindi 2(p — 2tc— {—!)-}— 

 - r -2(y-2Tr'+l)=8, cioè u -|-ti' =p — 1. 



(***) Essendo ti = p — 1 si ha p — 1 < — = — , p < 3. Se p = 3 la serie canonica è una g? e 



a 



quindi la serie fondamentale è unajfc 1 ; allora g% = g„~\, cioè Tt=l, in questo caso è p— 2ir-)-l = 

 perchè la g^Z\ non ha punti fissi. Se p = 2 la serie fondamentale è una g t ", formata dal punto che 

 rappresenta la coppia comune a t e alla g 2 '. Quindi ir — 1=0, 11=1; in questo caso il punto sud- 

 detto è uno dei punti doppi della g^ di f, e perciò si ha p — 2tc -)— 1 == 1. Il fatto che in questi 

 due casi la serie fondamentale e tutta mutnta in sé dalla g£ di f, dipende dall'esistenza di una g^ 

 sulla curva C. 





