27 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 3S9 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè una delle fi abbia il genere tt>0, è 

 che esista su f un gruppo della serie fondamentale di cui p — 2ir+l punti cadano in 

 punti doppi della gò, ed i rimanenti 2tt — 2 putiti formino tt — 1 coppie della gì stessa . 

 La dimostrazione si fa ancora distinguendo i due casi p — tt — 2>0, p — tt — 2= — 1. 

 Nel 1° caso, se M è un gruppo formato come si dice nell'enunciato in questione, è 

 evidente, che, se si fanno variare i tt — 1 gruppi di g\, si ha una serie i cui gruppi 

 sono formati come M e che contiene M. Si dica ora A il gruppo dei p — 2tt-|-1(<4) 

 punti fissi di g*Z\ i A un gruppo della gì, D il gruppo de' suoi punti doppi: risul- 

 terà allora 



M=A + {iz—l)A, 



e inoltre, tenuto conto che 2 A = (p -2n-\-l)A e D = 2 A si potrà scrivere, 

 D — A -j- (p — tt — 2)A = A + (tt — 1)A. 



Ora poiché p — tt — 2>0, esiste il gruppo D — A-f-(i? — tt — 2)A, e per l'ultima 

 relazione scritta appartiene alla serie fondamentale. Esso contiene il gruppo D — A 

 formato di 4 — (p — 2tt-(-1) =p — 2(p — tt — 1)— j — 1 punti doppi di gì, e, fuori di esso, 

 contiene p — tt — 2 coppie di g\. Tale gruppo varia pertanto in una g p ~\~ 2 c ^ e ha 

 fisso il gruppo D — A, e che assieme alla g™~l dà le serie lineari che, entro ]§, 

 serie fondamentale, hanno i loro gruppi trasformati in se dalla g\ (*). I generi di V, A 

 sono dunque tt, p — tt — 1. 



Se è invece p — tt — 2= — 1, è tt — 1—p — 2 e quindi M varia in una g p p z\, cioè 

 l'intera serie fondamentale è unita; dunque l~, A hanno i generi Tr(=p — 1), 0. Il 

 teorema rimane così completamente stabilito. 



Ponendo tt=1, e ricordando le considerazioni del n° precedente, ne dedur- 

 remo : 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè una curva C di genere p contenga due ri 

 ellittiche permutabili, è che sulla curva f che rappresenta una delle fi esista una gì, di cui 

 p — 1 coppie formino il gruppo di diramazione G e p — 1 punti doppi formino un 

 gruppo della serie fondamentale. 



§ 13. Alcuni risultati particolari, ed esemjri, 

 dedotti dalle considerazioni generali. 



30. — L'enunciato ora esposto, assieme al criterio più generale da cui deriva 

 si possono utilmente adoperare per risolvere la seguente questione: 



Date quattro curve C 1 , C 2 , C 3 , C 4 appartenenti alle quattro famiglie (di curve 

 ellittiche doppie di genere p), rappresentate su f col gruppo G e colle serie fonda- 



C) Fuori dei grappi di queste serie non possono esistere altri gruppi uniti; altrimenti lo sarebbe 

 l'intera serie fondamentale che, non avendo punti fissi (escluso il caso p = 2, nel quale è ir=I, e 

 quindi p — ir = 2 = — 1) verrebbe ad esser composta colla gè; il che è inconciliabile col fatto che 

 le serie g^Zi , 9pJ\~ esistono, ed una almeno di esse ha come fissi dei punti doppi di # 2 ', cioè 

 non è composta con g^ 1 . 



