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ANNIBALE COMESSATTI 



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mentali S lt S 2 , S 3 , S A , e data una gì di f con cui sia composto G, quali f\ si otten- 

 gono su queste curve ? 



La risposta si può dare facilmente; facciamone un esempio. Sia 



u' = — u-\-C, (modd. 1, x) 

 l'equazione della gì; i suoi quattro punti doppi A x , A 2 , A 3 , A é rispondono ai valori 



C C 



1+t 



2'2^2'2~2'2 2 



di m, e le quattro serie fondamentali son caratterizzate dalle somme 



£—l/i £—1/i_l 1 ^— 1 



T p— 1 



/-< />— * n i * z' — * zìi l P - ± rr i 

 2 °> "T" ° "+" T ' ~~2~ ° + T ' ~2~ ° "+" 



1+t 



Se p = 5 allora è ^ — (7=2C e quindi esistono gruppi di S t formati di due 



»-(-l 

 coppie di g\ ; si ha quindi p — 2rc + 1 = , tt = ^— — = 3 ; inoltre anche il gruppo 



A X A 2 A 3 A± appartiene alla serie fondamentale, e perciò p— 2tt'-(-1 =4, tt'=— -=1. 



La somma relativa ad S 2 è 2C -4- o" e Quindi esistono due gruppi di S 2 che hanno 



A x , A 2 per punti fissi e, fuori di essi, contengono una coppia di gì. Allora è 

 p — 2tt -)- 1 = 2, tt = 2, e analogamente ti' = 2. Per le serie S 3 , S& valgono consi- 

 derazioni analoghe scambiandosi la coppia A x A 2 rispettivamente con A 1 A 3 ; A x Ai. 

 Quindi : 



Se p = 5 le curve C t , 6' 2 , C s , C± contengono le t» di generi rispettivi 3, 1 ; 2, 2 ; 

 2, 2 ; 2; 2 oltre a quella data. 



Con ragionamenti perfettamente analoghi si hanno per p = 4 i valori 2, 1 ; 2, 1; 

 2, 1 ; 2, 1, per p — 3 i valori 2, ; 1, 1 ; 1, 1 ; 1, 1 e infine per p = 2 i valori 1, ; 

 1,0; 1,0; 1,0. 



Il numero delle famiglie distinte, se G non è composto con altre trasforma- 

 zioni di f, rimane inalterato, perchè, ragionamenti assai semplici, provano che le 

 ulteriori T2 ellittiche ottenute sulle curve C 1: C 2 , C 3 , C A hanno tutte moduli dif- 

 ferenti. 



31. — Daremo ora un esempio di curva algebrica contenente più Y2 ellittiche, 

 nel quale avremo occasione di applicare e generalizzare alcuni dei risultati sin qui 

 ottenuti; esempio più che altro inteso a mostrare una delle varie applicazioni di cui 

 questi risultati sono suscettibili. 



Prendiamo a considerare in S 3 una quartica di l a specie (ellittica) Q, e il tetraedro 

 dai vertici del quale tale curva è progettata doppiamente. Le quattro gì così otte- 

 nute sono subordinate dalle omologie armoniche che hanno per centro un vertice e 

 per piano d'omologia la faccia opposta; e i loro prodotti a due a due, sono le tre 

 involuzioni principali (ellittiche) di Q, subordinate dalle tre omografie biassiali che 





