29 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 341 



hanno per assi le coppie di spigoli opposti ; di modo che queste sette corrispondenze 

 saranno, p. es., rappresentate dalle forinole 



m' = il, 





, 1 



/ / 1 1 



«=-« + -, 





/ 1 T 

 u' = — u+'y , 



»^«+-i-, 



1 i l+T 





(4) T ^ «'=« + -5-, (modd. 1,t). 



Assumiamo ora sulla quartica considerata il gruppo G degli otto punti corri- 

 spondenti ai valori 



"i , «l + "F . "l + TT , " 



2 ' ™i ' 2 ' * ' 2 ' 



— «i , — «i + y > — M i + "2" ' — "i H 2 — ' 



esso risulterà composto colle sette corrispondenze suddette. I piani dello S 3 segano 

 su Q una g\ completa caratterizzata dalla somma nulla dei valori di u nei punti di 

 un suo gruppo ; ne segue che i quattro punti di G 



ih , — «i ; ih 4- y , — «ì + y >' 



stanno in un piano A(xyz) = 0, e gli altri quattro in un altro piano A'(xyz) = 0, 

 corrispondente del primo nella omografia biassiale Q che subordina la T2 ellittica 



«' = w4~~F"j (modd. 1, t). 



Ci 



Siano ora f(xyz) = 0, <p{xyz) = le equazioni di Q {f = 0, cp = rappresen- 

 tando due quadriche), e supponiamo lo S 3 immerso in un 84, in cui siano x, y, z, v 

 coordinate cartesiane di punto. Si consideri allora, in S 4 la curva ellittica doppia C 

 data dalle equazioni 



f(xyz) = 0, cp (xyz) = ; v 2 = A (xyz) A' (xyz) ; 



il cui gruppo di diramazione è segato su Q dai due piani ^4 = 0, A' = e perciò 

 coincide con G. Siccome manca il gruppo di diramazione apparente (*), si deduce 

 subito che la serie fondamentale relativa C è quella segata su Q dai piani di S s (**). 

 Ora siano: 



(5) i = E(xyz), r\=r\ (xyz), l=l(xyz), 



(*) In modo analogo al n° 2 si può anche qui definire il gruppo di diramazione apparente I". 



(**) È questo un risultato che deriva da un'estensione del ragionamento fatto al n° 17; si può 

 invero stabilire, in modo analogo, che se 21 è l'ordine della superficie che sega su JFil gruppo G+2r, 

 la serie fondamentale è residua di T rispetto ad una superficie d'ordine l. È pure ovvia la esten- 

 sione agl'iperspazi. 



