31 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 343 



PARTE SECONDA 

 Le curve doppie di genere qualunque ir. 



§ 1. Condizioni proiettive d'equivalenza : 

 numero delle famiglie distinte. 



1. — I risultati ottenuti nella l a Parte (Cap' 1°, 2°, 3°) si possono facilmente 

 estendere alle curve contenenti una Ts di genere qualunque tt, cioè alle curve doppie 

 di genere tt (>0); di tale argomento ci occuperemo brevemente in questa Seconda 

 Parte. 



Una curva C di genere p che contenga una Ts di genere ti si potrà rappresen- 

 tare mediante equazioni del tipo 



(1) f{xy) = 0, z* = R{xy), 



f=0 avendo appunto il genere ir; essa possiederà un certo gruppo di diramazione 

 effettua G (di 2 (p — 2tt -j- 1) punti) e un certo gruppo di diramazione apparente T (*). 

 Se P è il gruppo di diramazione apparente di un'altra curva C rappresentata da 

 equazioni analoghe alle (1) collo stesso G, e I", V hanno eguale numero di punti la 

 condizione d'identità birazionale di C, C è che sia r = l~'; altrimenti bisognerà che 

 la differenza | V — 1~| presa in senso conveniente sia un multiplo intero della serie 

 completa individuata da una sezione rettilinea di f. Tutto ciò si ricava con ragio- 

 namenti identici a quelli del caso tt = 1 . 



2. — Il numero delle famiglie distinte relative a un dato G, coincide con quello 

 dei possibili gruppi T non equivalenti, che, naturalmente abbiano egual numero di 

 punti. Dico che essi sono 2 2jl . 



Siano infatti J 1 ,J 2 ,...,Jjt- tt- integrali abeliani di l a specie indipendenti di f, 

 coi periodi (relativi ad -A) ut hl , w h2 , ..., \si h2n {h^ 1, 2, ... , ri), e indichiamo con J h {X) 

 la somma dei valori di J h nei punti di un gruppo X. Siccome è 2T = 21"' (cfr. col 

 n° 8 della l a Parte), sarà: 



«4(21") = J h {2V), (modd. w u , uj, !2 , ... , u) h , 2l t), (h = 1, 2, ... , tt) . 

 cioè 



2 «4(1") = 2«4(P), (modd. uu ft-1 , w h . 2 , ... , UM, 27t ) , (h =1,2,..., tt). 



(*) Questi gruppi si definiscono come per il caso ir = 1. Si osservi però che se f ha punti mul- 

 tipli, e la curva R= passa per uno di essi, bisognerà tener conto della molteplicità d'intersezione 

 valutata separatamente per ciascun ramo. 



