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Fissata ora un'origine ed i cammini d'integrazione da essa ai punti dei gruppi 

 T, ["', l'ultima relazione equivale alla 



2J h {f) = 2J h (V) -4- miuih,! + m a u} M + ... + m 37t ui hi2m , (h = 1, 2, ..., n), 



dove gl'interi w, dipendono dai cammini d'integrazione, e non dall'integrale /,, con- 

 siderato. Si avrà allora subito 



MH - Mn = f- ui M + f- w hi3 + ... + -5p ^ 2Jr , ( A = 1,2,..., ti), 



da cui segue che la differenza J h {^) — «^C') sarà congrua ad una somma del tipo 



(2) ^-f^ + -+^, (* = 1.2 i.), 



rispetto ai moduli u» fcil , ..., iu ft , g jr; i numeri a 1 ,a 2 ,...,a fc non dipendendo dal valore 

 di /i. Adunque i tipi di gruppi T non equivalenti son tanti quante le somme del 

 tipo (2), aggiuntavi un'unità; per contarli basterà aggiungere al numero delle com- 

 binazioni ad uno ad uno, quello delle combinazioni a due a due, ..., quello delle com- 

 binazioni a 2tt a 2rr, dei 2n numeri uj Aj1 , uu ;i2 , ..., uj h , 2 jz, e infine l'unità. Ora si ha pre- 

 cisamente 



i+£f;H», 



e quindi ci sono 2 ìM famiglie distinte. 



3. — Facciamo ora vedere, costruendo dei modelli, che ad ognuno dei 2' 2n tipi 

 ora trovati corrisponde un'effettiva curva doppia C (*). Incominciamo dall'osservare 

 che se 21 è abbastanza alto, le curve di quest'ordine per G segano su f, fuori di G 

 una serie lineare la cui deficenza ò è costante (eguale al numero dei punti doppi di f)\ 

 se 2/i è il numero dei punti di G (h = p — 2tt -4- 1), l'ordine di questa serie sarà 

 2 (mi — h) e la dimensione 2{ml — lì) — ir — ò. D'altronde se mi — h ;> ti si possono 

 costruire effettivamente gruppi di mi — h punti, in modo che la somma dei valori 

 di J k ad essi relativa sia una qualunque delle somme (2) ; difatti appena il numero dei 

 punti di un gruppo sia ;> tt , le somme dei valori di J 1} J 2 , ... , Jn possono essere 

 assunte ad arbitrio, come risulta dal teorema d'inversione di Jacobi (**). 



Pertanto supponiamo l così alto che sia mi — 7ì^>tt, che la serie suddetta risponda 

 alle condizioni suesposte, e che sia mi — h — ir — ò>0. Esisteranno allora 2 2jr gruppi 

 (ciascuno dei quali varierà in una serie completa) r l3 1~ 2 , ..., r 2 2jr , non equivalenti, i 

 i cui doppi staranno in questa serie; e le serie 6r-f-2|f\| (»=1, 2, ..., tt) avranno 



(*) Infatti, a priori, non si può affermare che dato T esista una curva -K = che seghi f in G-\-2V; 

 anzi ciò non è in generale vero; tuttavia può ottenersi, come si vedrà, con una scelta conveniente 

 di T. Tale questione non esiste per ir = l (cfr. la nota al n" 8 della 1° P e ). 



(**) Cfr. Appell et Goursat, Théorie dcs fonctions alyébriqites, ecc. [Paris, Gauthier-Villars, 1895], 

 Gap. X, 212; Briot, Théorie des fonctions abéliennes [Paris, Gauthier-Villars, 1879], Gap. IX. 



