33 SULLE CURVE DOPPIE DI GENERE QUALUNQUE, ECC. 345 



la dimensione mi — h — Tt. Poiché ognuna di queste serie e la serie segata fuori di G 

 dalle curve d'ordine 21 stanno in una gl^Z^'^ esse avranno 2{ml — li) — tt — ò-j- 

 -\-ml — A*— tt — [2(ml — h) — n} = ml — h — tt — ò>0, gruppi comuni, e quindi vi 

 sarà sempre un gruppo G -\- 2V t (i = 1, 2, ... , 2 2jr ) per cui passerà una curva Ci{xy) 

 d'ordine 21. Allora le equazioni 



(3) f{xy) = 0, z>- = C&y) , (* = 1, 2, ... , 2") , 



ci danno 2 2K curve appartenenti ciascuna ad una famiglia diversa. Nel caso in cui 



manca G, cioè quando j:=^-~, tra le curve Ci ve n'ha una che si può ottenere 



da una curva d'ordine l contata due volte; la famiglia corrispondente è composta 

 di curve riducibili e quindi ci riduciamo a 2 27r — 1 famiglie di curve irriducibili. 

 Il numero dei moduli si calcola subito; esso è 



2{p — 2tt + 1) + 3tt — 3 = 2p — tt — 1 

 se f non è iperellittica; se invece f è iper ellittica esso è 



2(p — 2tt -f 1) + 2tc — 1 = 2jp — 2tt + 1. 



§ 2. Condizioni d'equivalenza sotto forma invariantiva. 



4. — Per ricavare queste condizioni giova rivolgere l'attenzione alla serie 

 lineare X di dimensione p — ir — 1 che è formata dai gruppi canonici di C composti 

 colla Tg' ( n ° 27, parte l a ); essa ha per corrispondente su f una serie S d'ordine p — 1 

 e dimensione p — ir — 1, non speciale; mentre la serie g^r} 2 c ^ e na come punti fissi 

 quelli della Ta'» dà luogo, fuori di essi, ad una g^~^ rappresentata su f dalla serie 

 canonica (*). 



Sopra la curva f la serie canonica di C vien rappresentata da una serie alge- 

 brica fi^s d'indice 2 P ~ 2 , cui appartengono i gruppi di S contati due volte e i gruppi 

 G -|- 2X, dove X è un gruppo canonico ; questa serie si può costruire come insieme 

 di tutte le gf 2 che si ottengono congiungendo la serie t'azionale 6? — |- 2 |-X"| con 

 ciascun gruppo di S contato due volte. 



Indichiamo con A la serie gf~^ t di cui si è sopra parlato, con D il gruppo dei 

 punti doppi della fi, e sia C un'altra curva doppia di genere tt su cui si abbia il 

 gruppo D' analogo a D, e le serie Z', A' analoghe al, A; e supponiamo che esista 

 tra le due Y2' di C, C una corrispondenza tale da mutare D in D' e Z in X'; allora 

 si può dimostrare che le C, C possono rappresentarsi su f collo stesso gruppo di 

 diramazione G e in modo che le serie algebriche che rappresentano le serie cano- 

 niche di C, C coincidano. 



Di più se H, Hi son due gruppi canonici di C, K,K t due gruppi canonici di C 



(*) Infatti essa è una g^—l- ^a serie S e non speciale perchè il suo ordine 'e > 2ir — 2; a 

 meno che la T2 1 di C non abbia punti doppi, nel quale caso la cosa si stabilisce osservando che 

 su C la Z e la gf^-^i' cne i n * a ^ e caso naim0 eguale ordine, non possono avere gruppi comuni. 

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