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ANNIBALE COMESSATTI 



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rappresentati su f dallo stesso gruppo M, si riesce con facilità a provare, che, 

 ponendo tra le due serie canoniche di C, C una o l'altra delle due projettività deter- 

 minate dalle seguenti corrispondenze 



(D +A, X, H 

 U' + A', Z', K 



ID +A, I, HJ\ 

 \D' + A\ I', Ej 



si ottiene sempre un riferimento birazionale tra C, C, perchè ai gruppi canonici per 

 un punto di C vengono a corrispondere quelli per un punto di C. 



Non esponiamo per disteso le considerazioni che portano a tali risultati, perchè 

 si possono quasi integralmente leggere al Cap. 2° della l a parte, colla sola differenza 

 che in luogo del gruppo D, comparirà qui la serie D -f- A, e quindi in luogo di G 



la serie razionale G -4- 2 1 X\ ; perciò <P sarà una g* 



\p—2> eCC " 



... (*). 



5. — Ci limiteremo quindi ad enunciare: 



Condizione necessaria e sufficiente per F identità birazionale di due curve alge- 

 briche C, C contenenti ciascuna una sola T2' di genere n è che esista tra le due T2' 

 una corrispondenza biunivoca T la quale: 



a) muti il gruppo dei punti doppi dell'una nel gruppo dei punti doppi dell'altra, 

 P) muti ogni gruppo canonico di C composto colla f\ in un griqipo analogo di C\ 



Inoltre : 



Per ogni corrispondenza T soddisfacente le a), fi) esistono due riferimenti birazio- 

 nali tra C, C. 



Introducendo ora come al n° 14 della parte l a il concetto, perfettamente ana- 

 logo di rappresentazione [G, S] di C su f, col gruppo di diramazione G e colla serie 

 fondamentale (</j|Zf — J ) S, si perviene all'enunciato: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè due curve algebriche C, C, contenenti 

 ciascuna una sola yà di genere tt siano birazionalmente identiche, è che le C, C ammet- 

 tano sulla stessa curva f di genere tt due rappresentazioni [Gr, S], [G, S'], e che esista 

 una trasformazione r di f la quale muti in sé il gruppo G e trasformi S in S'. 



(*) All'ultimo momento il chiar. mo prof. Segre mi comunica gentilmente una sua dimostrazione 

 assai elegante di questo teorema per il caso non iperellittico, alla quale accennerò brevemente. 

 Rappresentando la C di genere p, colla & P -2 di S P -i, la T 2 l di genere ti risulta segata ivi dalle 

 generatrici di una rigata F d'ordine p -\- 2it — 3, e genere ir, avente una curva direttrice A nor- 

 male, non speciale, d'ordine p — 1, di Sp—jv-l, su cui stanno i punti doppi della Y2 1 , e una 

 curva direttrice speciale, canonica, B, d'ordine 2tt — 2 di Sx— 1 (vedi la nota del Segre citata al 

 n" 27). Sulla rigata F il gruppo G è formato dalle generatrici pei punti doppi della T2 1 (tangenti 

 a Ctp-z), e la serie S è segata dagl'iperpiani per lo spazio Sn—i. 



Se ora son date due tali rigate F, e vi è fra esse una corrispondenza biunivoca tale che si 

 corrispondano i loro Q e le loro 2 si tratta di far vedere che vi sarà una collineazione tra le rela- 

 tive Cìp-s. La corrispondenza tra le generatrici delle due F produce per sezione una corrispondenza 

 biunivoca tra le due A, ed una tra le due B, che, come facilmente si desume, son contenute in 

 collineazioni dei loro spazi. Se ora si pone tra i due S p -i una collineazione che subordini tali col- 

 lineazioni fra gli spazi delle due A, e tra quelli delle due B, e in cui si corrispondano due punti P, P' 

 scelti sulle due C2P-2, e su generatrici corrispondenti delle due rigate, tale collineazione muterà 

 la 1" Cip-z in una curva della 2° rigata che ha colla Cip-* relativa, un numero di punti comuni 

 superiore a quello che dovrebbe avere se ne fosse distinta, e che quindi deve coincidere con 

 tale Cip-z. 



